Giải các phương trình sau với \(a,\,\,b\) là tham số:a) \({a^2}\left( {x - a} \right) = {b^2}\left( {x - b}

Câu hỏi số 516210:

Thông hiểu

Giải các phương trình sau với \(a,\,\,b\) là tham số:

a) \({a^2}\left( {x - a} \right) = {b^2}\left( {x - b} \right)\)

b) \(b\left( {ax - b + 2} \right) = 2\left( {ax + 1} \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:516210

Phương pháp giải

+ Biến đổi phương trình về dạng \(ax + b = 0\).

+ Giải phương trình \(ax + b = 0\) chứa tham số.

Giải chi tiết

a) \({a^2}\left( {x - a} \right) = {b^2}\left( {x - b} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2}x - {a^3} = {b^2}x - {b^3}\\ \Leftrightarrow {a^2}x - {b^2}x = {a^3} - {b^3}\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - {b^2}} \right)x = {a^3} - {b^3}\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

+ Với \({a^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a = - b\end{array} \right.\)

Khi \(a = b\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 0.x = {b^3} - {b^3}\)

\( \Leftrightarrow 0.x = 0\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) vô số nghiệm

Khi \(a = - b\) và \(b \ne 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 0.x = - {b^3} - {b^3}\)

\( \Leftrightarrow 0.x = - 2{b^3}\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) vô nghiệm

(Trường hợp \(a = - b\)và \(b = 0\)\( \Rightarrow a = b = 0\) đưa về trường hợp \(a = b\))

+ Với \({a^2} - {b^2} \ne 0 \Leftrightarrow a \ne \pm b\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = \frac{{{a^3} - {b^3}}}{{{a^2} - {b^2}}}\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{{{a^2} + ab + {b^2}}}{{a + b}}\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất là \(x = \frac{{{a^2} + ab + {b^2}}}{{a + b}}\)

Kết luận:

+ Với \(a = b\) thì phương trình vô số nghiệm.

+ Với \(a = - b;\,\,\,b \ne 0\) thì phương trình vô nghiệm.

+ Với \(a \ne \pm b\) thì phương trình có nghiệm duy nhất là \(x = \frac{{{a^2} + ab + {b^2}}}{{a + b}}\)

b) \(b\left( {ax - b + 2} \right) = 2\left( {ax + 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow abx - {b^2} + 2b = 2ax + 2\\ \Leftrightarrow abx - 2ax = {b^2} - 2b + 2\\ \Leftrightarrow a\left( {b - 2} \right)x = {b^2} - 2b + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

+ Với \(a\left( {b - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = 2\end{array} \right.\):

Khi \(a = 0\) thì \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 0.x = {b^2} - 2b + 2\)

mà \({b^2} - 2b + 2 = {\left( {b - 1} \right)^2} + 1 > 0\) với mọi \(b\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) vô nghiệm

Khi \(b = 2\) thì \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 0.x = {2^2} - 2.2 + 2\)

\( \Leftrightarrow 0.x = 2\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) vô nghiệm

+ Với \(a\left( {b - 2} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\b \ne 2\end{array} \right.\) thì \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow x = \frac{{{b^2} - 2b + 2}}{{a\left( {b - 2} \right)}}\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) có nghiệm duy nhất là \(x = \frac{{{b^2} - 2b + 2}}{{a\left( {b - 2} \right)}}\)

Kết luận:

+ Với \(a = 0\) hoặc \(b = 2\) thì phương trình vô nghiệm.

+ Với \(a \ne 0\) và \(b \ne 2\) thì phương trình có nghiệm duy nhất là \(x = \frac{{{b^2} - 2b + 2}}{{a\left( {b - 2} \right)}}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link