Cho phương trình \(\frac{{x + 2m}}{{x - 5}} - 1 = \frac{{x + 5}}{{2m - x}} + 1\) (với \(m\) là hằng số). Tìm

Câu hỏi số 516216:

Vận dụng cao

Cho phương trình \(\frac{{x + 2m}}{{x - 5}} - 1 = \frac{{x + 5}}{{2m - x}} + 1\) (với \(m\) là hằng số). Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm duy nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:516216

Phương pháp giải

+ Đặt điều kiện xác định

+ Biến đổi phương trình về dạng \(ax + b = 0\).

+ Giải phương trình \(ax + b = 0\) chứa tham số.

+ Tìm điều kiện để phương trình \(ax + b = 0\) có nghiệm duy nhất, tức là giải \(a \ne 0\).

+ Đối chiếu với điều kiện xác định.

Giải chi tiết

\(\frac{{x + 2m}}{{x - 5}} - 1 = \frac{{x + 5}}{{2m - x}} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Điều kiện: \(x \ne 5;\,\,\,x \ne 2m\)

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{x + 2m - x + 5}}{{x - 5}} = \frac{{x + 5 + 2m - x}}{{2m - x}}\\ \Leftrightarrow \frac{{2m + 5}}{{x - 5}} = \frac{{2m + 5}}{{2m - x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

+ Khi \(2m + 5 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 5}}{2}\) thì \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{0}{{x - 5}} = \frac{0}{{2m - x}}\) (luôn đúng)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) có vô số nghiệm \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có vô số nghiệm

\( \Rightarrow m = \frac{{ - 5}}{2}\) không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

+ Khi \(m \ne \frac{{ - 5}}{2}\) thì \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{{x - 5}} = \frac{1}{{2m - x}}\)

\( \Leftrightarrow x - 5 = 2m - x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x = 2m + 5\\ \Leftrightarrow x = \frac{{2m + 5}}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) có nghiệm duy nhất là \(x = \frac{{2m + 5}}{2}\)

Để \(x = \frac{{2m + 5}}{2}\) là nghiệm duy nhất của phương trình \(\left( 1 \right)\)

thì \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{2m + 5}}{2} \ne 5\\\frac{{2m + 5}}{2} \ne 2m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 5 \ne 10\\2m + 5 \ne 4m\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne \frac{5}{2}\)

Vậy để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x = \frac{{2m + 5}}{2}\) thì \(m \ne \frac{{ - 5}}{2}\) và \(m \ne \frac{5}{2}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link