Cho phương trình \(\frac{{\left( {{m^2} + 1} \right)x + 1 - 2{m^2}}}{{x - 5}} = 2m\) (với \(m\) là tham số).

Câu hỏi số 516217:

Vận dụng cao

Cho phương trình \(\frac{{\left( {{m^2} + 1} \right)x + 1 - 2{m^2}}}{{x - 5}} = 2m\) (với \(m\) là tham số). Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm duy nhất đạt giá trị lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:516217

Phương pháp giải

+ Đặt điều kiện xác định

+ Biến đổi phương trình về dạng \(ax + b = 0\).

+ Giải phương trình \(ax + b = 0\) chứa tham số.

+ Tìm điều kiện để phương trình \(ax + b = 0\) có nghiệm duy nhất, tức là giải \(a \ne 0\).

+ Đối chiếu với điều kiện xác định.

+ Biến đổi nghiệm duy nhất tìm được để tìm giá trị lớn nhất

+ Xác định điều kiện để đẳng thức xảy ra; từ đó suy ra giá trị \(m\).

Giải chi tiết

\(\frac{{\left( {{m^2} + 1} \right)x + 1 - 2{m^2}}}{{x - 5}} = 2m\) \(\left( 1 \right)\)

Điều kiện: \(x \ne 5\)

\(\left( 1 \right) \Rightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)x + 1 - 2{m^2} = 2m\left( {x - 5} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)x + 1 - 2{m^2} = 2mx - 10m\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)x - 2mx = 2{m^2} - 10m - 1\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1 - 2m} \right)x = 2\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) - 6\left( {m - 1} \right) - 9\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2}x = 2{\left( {m - 1} \right)^2} - 6\left( {m - 1\,\,} \right) - 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Để phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất

thì phương trình \(\left( 2 \right)\) phải có nghiệm duy nhất thỏa mãn \(x \ne 5\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} \ne 0\\{\left( {m - 1} \right)^2}.5 \ne 2{\left( {m - 1} \right)^2} - 6\left( {m - 1\,\,} \right) - 9\,\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\{\left( {m - 1} \right)^2} + 2 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m \ne 1\end{array}\)

Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất là \(x = \frac{{2{{\left( {m - 1} \right)}^2} - 6\left( {m - 1\,\,} \right) - 9}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} = 2 - \frac{6}{{m - 1}} - \frac{9}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}\)

Ta có: \(x = 2 - \frac{6}{{m - 1}} - \frac{9}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\, = - \left[ {\frac{9}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} + \frac{6}{{m - 1}} + 1} \right] + 3\\\,\,\,\,\, = - {\left( {\frac{3}{{m - 1}} + 1} \right)^2} + 3\end{array}\)

Vì\(\, - {\left( {\frac{3}{{m - 1}} + 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(m\)

nên \( - {\left( {\frac{3}{{m - 1}} + 1} \right)^2} + 3 \ge 3\) với mọi \(m\)

hay \(x \ge 3\) với mọi \(m\)

Đẳng thức xảy ra

Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất đạt giá trị lớn nhất là \(x = 3\) khi \(m = - 2\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link