Cho biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x +

Câu hỏi số 517246:

Vận dụng

Cho biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x + 4}}{{x - 1}} + \frac{4}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x \ge 0\,;\,\,x \ne 1\).

a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) biết \(x = 25\);

b) Chứng minh rằng \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\);

c) Tìm giá trị của \(x\) để \(Q = \frac{{2B}}{A}\) nhận giá trị nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:517246

Phương pháp giải

a) Kiểm tra \(x = 25\) có thỏa mãn điều kiện hay không? Nếu không ta kết luận, nếu thỏa mãn ta thay vào biểu thức \(A\) để tính giá trị của biểu thức \(A\).

b) Vận dụng hằng đẳng thức \(a - b = \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\) để xác định mẫu thức chung

Thực hiện quy đồng, các phép toán với phân thức đại số từ đó tính được giá trị của biểu thức \(B\).

c) Thực hiện các phép toán với phân thức đại số tính được giá trị của biểu thức \(Q\).

Thực hiện phép chia tử số cho mẫu số tìm miền chặn của \(Q\)

Biên luận và giải phương trình với \(Q\) nguyên

Giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x \ge 0\,;\,\,x \ne 1\)

Thay \(x = 25\) (tmđk) vào \(A\) ta có: \(A = \frac{{\sqrt {25} + 2}}{{\sqrt {25} - 1}} = \frac{{5 + 2}}{{5 - 1}} = \frac{7}{4}\)

Vậy với \(x = 25\) thì \(A = \frac{7}{4}\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x + 4}}{{x - 1}} + \frac{4}{{\sqrt x - 1}}\\B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{4}{{\sqrt x - 1}}\\B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {2\sqrt x + 4} \right) + 4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\B = \frac{{x - \sqrt x - 2\sqrt x - 4 + 4\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\B = \frac{{x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\end{array}\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\) (đpcm)

c) Ta có: \(Q = \frac{{2B}}{A} = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\)

Ta thấy \(Q \ge 0\)

\(Q = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right) - 4}}{{\sqrt x + 2}} = 2 - \frac{4}{{\sqrt x + 2}} < 2\)

Mà \(Q \in \mathbb{Z}\) nên \(Q \in \left\{ {0;1} \right\}\)

Trường hợp 1: \(Q = 0 \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = 0\)\( \Rightarrow 2\sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (tmđk)

Trường hợp 2: \(Q = 1 \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = 1\) (tmđk)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\sqrt x = \sqrt x + 2\\ \Leftrightarrow \sqrt x = 2\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4\) (tmđk)

Vậy \(x \in \left\{ {0;4} \right\}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link