Cho \(\Delta ABC\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB\). Trên cạnh \(AC\), lấy điểm \(N\) sao cho

Câu hỏi số 517294:

Thông hiểu

Cho \(\Delta ABC\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB\). Trên cạnh \(AC\), lấy điểm \(N\) sao cho \(AN = 2NC\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(BN\) và \(CM\). Chứng minh rằng:

a) \({S_{BIC}} = {S_{AIC}}\)

b) \(BI = 3IN\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:517294

Phương pháp giải

+ Vẽ thêm đường phụ: Kẻ \(AH \bot MC,\,\,BK \bot MC\)

+ Chứng minh \(\Delta AHM = \Delta BKM\)

+ Biểu diễn tỉ số diện tích \(\frac{{{S_{AIC}}}}{{{S_{BIC}}}}\) suy ra \({S_{AIC}} = {S_{BIC}}\).

+ Chứng minh \({S_{AIC}} = 3{S_{NIC}}\). Từ đó suy ra \({S_{BIC}} = 3{S_{NIC}}\).

+ Chứng minh \(BN = 3NI\)

Giải chi tiết

a) Kẻ \(AH \bot MC,\,\,BK \bot MC\)

Do đó \(AH//BK\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét \(\Delta AHM\) và \(\Delta BKM\) có:

\(\angle AHM = \angle BKM = {90^0}\) (vì \(AH \bot MC,\,\,BK \bot MC\))

\(\angle AMH = \angle BKM\) (vì hai góc ở vị trí đối đỉnh)

\(AM = BM\) (gt)

\( \Rightarrow \Delta AHM = \Delta BKM\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Ta có: \(\Delta AIC\) và \(\Delta BIC\) chung cạnh đáy \(IC\)

nên \(\frac{{{S_{AIC}}}}{{{S_{BIC}}}} = \frac{{AH}}{{BK}}\)

mà \(AH = BK\) (vì \(\Delta AHM = \Delta BKM\))

nên \({S_{AIC}} = {S_{BIC}}\)

b) Ta có: \(\Delta AIC\) và \(\Delta NIC\) chung đường cao kẻ từ đỉnh \(I\)

nên \(\frac{{{S_{AIC}}}}{{{S_{NIC}}}} = \frac{{AC}}{{NC}}\)

mà \(AC = 3NC\) (vì \(AN = 2NC\))

nên \({S_{AIC}} = 3{S_{NIC}}\)

\( \Rightarrow {S_{BIC}} = 3{S_{NIC}}\) (vì \({S_{AIC}} = {S_{BIC}}\))

mà \(\Delta BIC\) và \(\Delta NIC\) chung đường cao kẻ từ đỉnh \(C\) nên \(\frac{{{S_{BIC}}}}{{{S_{NIC}}}} = \frac{{BN}}{{NI}} = 3\) do đó \(BN = 3NI\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link