Với \(x > 0\,;\,\,x \ne 9\) cho các biểu thức: \(P = \frac{{x + 7}}{{3\sqrt x }}\) và \(Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{7\sqrt x + 3}}{{9 - x}}\).
1) Tính giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 4\)
2) Chứng minh rằng \(Q = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\)
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = P.Q\).

Câu 517307: Với \(x > 0\,;\,\,x \ne 9\) cho các biểu thức: \(P = \frac{{x + 7}}{{3\sqrt x }}\) và \(Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{7\sqrt x + 3}}{{9 - x}}\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 4\)

2) Chứng minh rằng \(Q = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\)

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = P.Q\).

Xem lời giải

Câu hỏi : 517307

Phương pháp giải:

1) Kiểm tra \(x = 4\) thỏa mãn điều kiện: \(x > 0\,;\,\,x \ne 9\) hay không sau đó thay vào biểu thức \(P\) để tính được giá trị của biểu thức \(P\).

2) Vận dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) xác định mẫu thức chung, cụ thể: \(x - 9 = \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)\)

Thực hiện các phép tính với các phân thức để chứng minh biểu thức \(Q\)

3) Thực hiện phép nhân các phân thức với nhau để tính được giá trị của biểu thức \(A\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\)

(0) bình luận (0) lời giải

** Viết lời giải để bạn bè cùng tham khảo ngay tại đây
Viết lời giải

Up ảnh lời giải
Viết công thức
Giải chi tiết:
1) Tính giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 4\)
Ta thấy \(x = 4\) thỏa mãn điều kiện: \(x > 0\,;\,\,x \ne 9\)
Thay \(x = 4\) vào biểu thức \(P\) ta có: \(P = \frac{{4 + 7}}{{3\sqrt 4 }} = \frac{{11}}{{3.2}} = \frac{{11}}{6}\)
Vậy với \(x = 4\) ta có \(P = \frac{{11}}{6}\).
2) Chứng minh rằng \(Q = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{7\sqrt x + 3}}{{9 - x}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{7\sqrt x + 3}}{{x - 9}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} - \frac{{7\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{x + 3\sqrt x + \sqrt x + 3 + 2x - 6\sqrt x - 7\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{3x - 9\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\end{array}\)
Vậy với \(x > 0\,;\,\,x \ne 9\) ta có: \(Q = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\).
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = P.Q\).
Với \(x > 0\,;\,\,x \ne 9\) ta có:
\(A = P.Q = \frac{{x + 7}}{{3\sqrt x }}.\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{x + 7}}{{\sqrt x + 3}} = \left( {\sqrt x + 3} \right) + \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}} - 6\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có:
\(\left( {\sqrt x + 3} \right) + \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}} \ge 8 \Rightarrow \left( {\sqrt x + 3} \right) + \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}} - 6 \ge 2\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x + 3 = \frac{{16}}{{\sqrt x + 3}} \Leftrightarrow x = 1\) (tmđk)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) bằng \(2\) khi \(x = 1\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây