Với \(x > 0\,;\,\,x \ne 9\) cho các biểu thức: \(P = \dfrac{{x + 7}}{{3\sqrt x }}\) và \(Q = \dfrac{{\sqrt x

Câu hỏi số 517307:

Vận dụng

Với \(x > 0\,;\,\,x \ne 9\) cho các biểu thức: \(P = \dfrac{{x + 7}}{{3\sqrt x }}\) và \(Q = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \dfrac{{7\sqrt x + 3}}{{9 - x}}\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 4\)

2) Chứng minh rằng \(Q = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\)

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = P.Q\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:517307

Phương pháp giải

1) Kiểm tra \(x = 4\) thỏa mãn điều kiện: \(x > 0\,;\,\,x \ne 9\) hay không sau đó thay vào biểu thức \(P\) để tính được giá trị của biểu thức \(P\).

2) Vận dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) xác định mẫu thức chung, cụ thể: \(x - 9 = \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)\)

Thực hiện các phép tính với các phân thức để chứng minh biểu thức \(Q\)

3) Thực hiện phép nhân các phân thức với nhau để tính được giá trị của biểu thức \(A\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\)

Giải chi tiết

1) Tính giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 4\)

Ta thấy \(x = 4\) thỏa mãn điều kiện: \(x > 0\,;\,\,x \ne 9\)

Thay \(x = 4\) vào biểu thức \(P\) ta có: \(P = \dfrac{{4 + 7}}{{3\sqrt 4 }} = \dfrac{{11}}{{3.2}} = \dfrac{{11}}{6}\)

Vậy với \(x = 4\) ta có \(P = \dfrac{{11}}{6}\).

2) Chứng minh rằng \(Q = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\)

Ta có:

\(\;Q = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \dfrac{{7\sqrt x + 3}}{{9 - x}}\)

\( = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \dfrac{{7\sqrt x + 3}}{{x - 9}}\)

\(\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \dfrac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} - \dfrac{{7\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\(\; = \dfrac{{x + 3\sqrt x + \sqrt x + 3 + 2x - 6\sqrt x - 7\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\(\; = \dfrac{{3x - 9\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\( = \dfrac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\( = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\)

Vậy với \(x > 0{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9\) ta có: \(Q = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 3}}\).

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = P.Q\).

Với \(x > 0{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9\) ta có:

\(A = P.Q = \dfrac{{x + 7}}{{3\sqrt x }}.\dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 3}} = \dfrac{{x + 7}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 3}} = \left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 3} \right) + \dfrac{{16}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 3}} - 6\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có:

\(\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 3} \right) + \dfrac{{16}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 3}} \ge 8\)

\(\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 3} \right) + \dfrac{{16}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 3}} - 6 \ge 2\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x {\rm{ \;}} + 3 = \dfrac{{16}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 3}}\) hay \(x = 1\) (tmđk)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) bằng \(2\) khi \(x = 1\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link