Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), đường kính \(AB\). Trên nửa mặt phẳng bờ \(AB\)

Câu hỏi số 517349:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), đường kính \(AB\). Trên nửa mặt phẳng bờ \(AB\) chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến \(Bx\) với \(\left( O \right)\). Điểm \(M\) di dộng trên tia \(Bx\,\,\left( {M \ne B} \right),\,\,AM\) cắt nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(N\,\,\left( {N \ne A} \right)\). Kẻ \(OE\) vuông góc với \(AN\) tại \(E\).

a) Chứng minh các điểm \(E,O,B,M\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OM\).

b) Tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(N\) cắt tia \(OE\) tại \(K\) và cắt \(MB\) tại \(D\). Chứng minh \(KA\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\).

c) Chứng minh rằng \(KA.DB\) không đổi khi điểm \(M\) di dộng trên tia \(Bx\).

d) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(DK\), kẻ \(OF \bot AB\,\,\,\left( {F \in DK} \right)\). Chứng minh: \(\frac{{BD}}{{DF}} + \frac{{DF}}{{HF}} = 1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:517349

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(M,B,O\) cùng thuộc 1 đường tròn đường kính \(OM\) và \(M,O,E\) cùng thuộc 1 đường tròn đường kính \(OM\) từ đó suy ra 4 điểm \(E,O,B,M\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OM\).

b) Vận dụng dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn, ta chứng minh \(AK \bot OA\) mà \(A \in \left( O \right)\)

Do đó \(KA\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\).

c) Vận dụng kiến thức về tiếp tuyến của đường tròn và

d) Vận dụng quan hệ từ vuông góc đến song song, định lí Tales để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Ta có \(Bx\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) nên suy ra \(Bx \bot AB\) (tính chất tiếp tuyến)

\( \Rightarrow \widehat {MBO} = {90^0}\) nên 3 điểm \(M,B,O\) cùng thuộc 1 đường tròn đường kính \(OM\)

Mà \(OE\) vuông góc với \(AN\) tại \(E\) (gt) \( \Rightarrow \widehat {MOE} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \) 3 điểm \(M,O,E\) cùng thuộc 1 đường tròn đường kính \(OM\)

Do đó 4 điểm \(E,O,B,M\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OM\).

b) Ta có: \(OA = ON\,\,\left( { = R} \right) \Rightarrow \Delta OAN\) cân tại \(O\) mà \(OE\) là đường cao của \(\Delta OAN\) (gt)

Do đó, \(OE\) cũng là phân giác của \(\Delta OAN \Rightarrow \widehat {NOE} = \widehat {AOE}\)

Xét \(\Delta NOK\) và \(\Delta AOK\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}ON = OA\,\,\left( {cmt} \right)\\\widehat {NOE} = \widehat {AOE}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\OK\,\,chung\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \Delta NOK = \Delta AOK\,\,\,\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \widehat {ONK} = \widehat {OAK}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ONK} = {90^0}\) (vì \(KN\) là tiếp tuyến) \( \Rightarrow AK \bot OA\) mà \(A \in \left( O \right)\)

Do đó \(KA\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\).

c) Vì \(KA,KN\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow KA = KN\), \(OK\) là tia phân giác \(\widehat {ANK}\) (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

Vì \(DN,DB\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow AD = DB\), \(OD\) là tia phân giác \(\widehat {ANK}\) (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}KA.DB = KN.KD\left( { = O{N^2}} \right)\\\widehat {KOD} = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow KA.DB = KN.ND\) và \(\Delta OKD\) vuông

Từ đó suy ra \(KA.DB = KN.ND = N{O^2} = {R^2}\)

Vậy \(KA.DB\) không đổi khi \(M\) di động trên tia \(Bx\).

d) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OF \bot AB\,\,\,\left( {gt} \right)\\BD \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OF\)//\(BD\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

\(OF\)//\(BD \Rightarrow \widehat {FOD} = \widehat {BDO}\) (hai góc so le trong)

Mặt khác, \(\Delta BDH\) có \(OF\)//\(BD\) theo định lí Tales, ta có: \(\frac{{OF}}{{BD}} = \frac{{HF}}{{HD}}\)

\( \Rightarrow \frac{{BD}}{{OF}} = \frac{{HD}}{{HF}} \Rightarrow \frac{{BD}}{{OF}} = \frac{{HF + FD}}{{HF}} = 1 + \frac{{FD}}{{HF}}\)

\( \Rightarrow \frac{{BD}}{{OF}} - \frac{{FD}}{{HF}} = 1\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta lại có: \(\widehat {NDO} = \widehat {BDO}\) mà \(\widehat {FOD} = \widehat {BDO}\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

Do đó \(\widehat {FOD} = \widehat {FDO} \Rightarrow \Delta FDO\) cân tại \(F \Rightarrow DF = FO\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \frac{{BD}}{{DF}} - \frac{{DF}}{{HF}} = 1\) (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link