Có bao nhiêu cắp số thực dương \((a;b)\) thỏa mãn \({\log _2}a\) là số nguyên dương; \({\log _2}a =

Câu hỏi số 517958:

Vận dụng

Có bao nhiêu cắp số thực dương \((a;b)\) thỏa mãn \({\log _2}a\) là số nguyên dương; \({\log _2}a = \,\,1 + \,{\log _4}b\) và \({a^2} + \,\,{b^2} < \,\,{2^{21}}\)?

A. \(6\)

B. \(5\)

C. \(8\)

D. \(7\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:517958

Phương pháp giải

Khai thác từ giả thiết \({\log _2}a\) là số nguyên dương nên \({\log _4}b\) là số nguyên dương.

Đặt \({\log _4}b = t\,\,(t \in \mathbb{Z})\,\)và đặt điều kiện cho \(t\).

Biểu diễn \(a,b\) theo \(t\).

Từ dữ kiện \({a^2} + \,\,{b^2} < \,\,{2^{21}}\); tìm ra các giá trị \(t\) thỏa mãn đầu bài.

Suy ra, số cặp thỏa mãn đầu bài.

Giải chi tiết

Vì \({\log _2}a\) là số nguyên dương nên \({\log _4}b\) là số nguyên dương.

Đặt \({\log _4}b = t\,\,(t \in \mathbb{Z})\,\, \Rightarrow b = \,{4^t} = {2^{2t}}\)

Ta có: \({\log _2}a = \,\,1 + \,{\log _4}b = 1 + \,t \Rightarrow a = \,{2^{1 + t}} = {2.2^t}\) và \(1 + t > 0 \Leftrightarrow t > - 1\)

Lại có: \({a^2} + \,\,{b^2} < \,\,{2^{21}}\)nên :

\(\begin{array}{l}{4.2^{2t}} + \,\,{2^{4t}}\, < \,{2^{21}} \Leftrightarrow {({2^{2t}} + \,2)^2} < \,\,{2^{21}} + \,\,4\\ \Leftrightarrow {2^{2t}} + \,2 < \,\,\sqrt {{2^{21}} + \,\,4} \\ \Rightarrow 2t \in \left\{ {0;2;4;6;8;10} \right\}\\ \Rightarrow t \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\end{array}\)

Ứng với 6 giá trị t khác nhau cho ta 6 cặp thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.