Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\). Vẽ tiếp tuyến \(Ax\) của đường tròn

Câu hỏi số 518162:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\). Vẽ tiếp tuyến \(Ax\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Trên cùng một mặt phẳng bờ \(AB\) chứa tia \(Ax\), lấy điểm \(M\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\) (\(M\) khác \(A\) và \(B\)) sao cho \(MA > MB\). Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(M\) cắt tia \(Ax\) tại \(E\).

1) Chứng minh bốn điểm \(A,E,M,O\)cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh: \(OE\)//\(MB\).

3) Gọi \(F\) là giao điểm của \(EB\) với đường tròn \(\left( O \right)\). Chứng minh \(\angle EFM = \angle EMB\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:518162

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(A,M\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OE\)

b) Vận dụng định lý đường trung trực của đoạn thẳng và quan hệ từ vuông góc đến song song

c) Vận dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác

Giải chi tiết

1) Do \(OM\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(OM \bot EM\)

\( \Rightarrow \Delta OEM\) vuông tại \(M\)

\( \Rightarrow M\) thuộc đường tròn đường kính \(OE\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(Ax\)là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(Ax \bot AB\)

\( \Rightarrow \Delta AOE\) vuông tại \(A\)

\( \Rightarrow A\) thuộc đường tròn đường kính \(OE\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), suy ra bốn điểm \(O,A,E,M\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(EO\)

2) Vì \(AE\) và \(ME\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(A\) và \(M\) (gt)

\( \Rightarrow AE = EM\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: \(AE = EM\left( {cmt} \right)\) và \(OA = OM\) (bán kính của đường tròn \(\left( O \right)\))

\( \Rightarrow OM\) là đường trung trực của đoạn \(AM\) (dấu hiệu nhận biết đường trung trực của đoạn thẳng)

\( \Rightarrow AM \bot OE\)

Theo giả thiết \(M \in \left( O \right) \Rightarrow \angle AMB = {90^0} \Rightarrow AM \bot BM\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot OE\\AM \bot BM\end{array} \right. \Rightarrow OE\)//\(BM\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

3) Xét \(\Delta MEB\) có: \(\angle MEB + \angle MBE + \angle EMB = {180^0} \Rightarrow \angle EMB = {180^0} - \angle MEB - \angle MBE\,\,\,\left( 3 \right)\)

Xét \(\Delta MEF\) có: \(\angle MEB + \angle EFM + \angle EMF = {180^0} \Rightarrow \angle EFM = {180^0} - \angle MEB - \angle EMF\,\,\,\left( 4 \right)\)

Mặt khác \(\angle MEF = \angle MBE = \frac{1}{2}sdcungMF\,\,\,\left( 5 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right),\left( 4 \right)\) và \(\left( 5 \right)\) suy ra \(\angle EFM = \angle EMB\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link