Cho tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AH\,\,\left( {H \in BC} \right)\)1) Cho \(AB =

Câu hỏi số 518234:

Vận dụng

Cho tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AH\,\,\left( {H \in BC} \right)\)

1) Cho \(AB = 5\,;\,\,BC = 13\). Tính \(BH\) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) và số đo góc \(ABC\) (làm tròn đến phút).

2) Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(D\,\,\,\left( {D \ne A\,;\,\,D \ne C} \right)\). Gọi \(K\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BD\). Chứng minh \(BD.BK = BH.BC\).

3) Tính tỉ số diện tích \(\Delta ABD\) và \(\Delta ABC\) khi \(BD\) là phân giác của góc \(ABC\).

4) Gọi \(M,N\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) và \(AC\). Tìm vị trí của \(H\) trên \(BC\) để tứ giác \(AMHN\) có diện tích lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:518234

Phương pháp giải

1) Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

2) Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

3) Vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác.

4) Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật, bất đẳng thức Cô – si.

Giải chi tiết

1) \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AH \bot BC\,\,\,\left( {H \in BC} \right)\)

+ Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: \(A{B^2} = BH.BC\,\,\,\left( 1 \right)\)

\( \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{5^2}}}{{13}} = \dfrac{{25}}{{13}} \approx 1,9\)

+ Theo tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, ta có: \(\cos \angle ABC = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{5}{{13}}\). Suy ra \(\angle ABC \approx {67^0}22'\)

2) \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) có \(AK \bot BD\,\,\left( {K \in BD} \right)\), suy ra \(A{B^2} = BK.BD\,\,\,\left( 2 \right)\) (theo hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow BD.BK = BH.BC\)

3) Có \(BD\) là phân giác \(\angle ABC\). Theo tính chất đường phân giác ta có: \(\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{5}{{13}}\)\( \Rightarrow AD = \dfrac{5}{{18}}AC\)

Ta có: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC\) và \({S_{\Delta ABD}} = \dfrac{1}{2}AB.AD\)

Lập tỉ số diện tích: \(\dfrac{{{S_{\Delta ABD}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}AB.AD}}{{\dfrac{1}{2}AB.AC}} = \dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{5}{{18}}\)

4) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BC = 2AI\\AI \ge AH\end{array} \right.\)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow \angle BAC = {90^0}\) do đó \(\angle NAM = {90^0}\)

\(M,N\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) lên \(AB,AC \Rightarrow HM \bot AB,HN \bot AC\) do đó \(\angle ANH = \angle AMH = {90^0}\)

Tứ giác \(AMHN\) có: \(\angle NAM = \angle ANH = \angle AMH = {90^0}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AMHN\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

\( \Rightarrow {S_{AMHN}} = HM.HN\)

\( \Rightarrow {S_{AMHN}} = AM.HM \le \dfrac{{A{M^2} + H{M^2}}}{2} = \dfrac{{A{H^2}}}{2} \le \dfrac{{A{I^2}}}{2} = \dfrac{{B{C^2}}}{8}\)

Vậy \(\max {S_{AMHN}} = \dfrac{{B{C^2}}}{8}\) khi \(H \equiv I\) hay \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) và \(H\) là trung điểm của \(BC\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link