Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 2AD\). Vẽ \(BH\) vuông góc với \(AC\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt

Câu hỏi số 518611:

Vận dụng

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 2AD\). Vẽ \(BH\) vuông góc với \(AC\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(AH,BH,CD\).

a) Tính diện tích hình chữ nhật \(ABCD\), biết \(AB = 8cm.\)Chứng minh tứ giác \(MNCP\) là hình bình hành.

b) Chứng minh \(MP\) vuông góc với \(MB.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:518611

Phương pháp giải

a) + Vận dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật: \({S_{ABCD}} = AB.AD\)

+ Chứng minh tứ giác \(MNCP\) có \(MN = PC\) và \(MN//PC\) nên \(MNCP\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

b) Chứng minh \(N\) là trọng tâm của \(\Delta CMB\)\( \Rightarrow NC \bot MB \Rightarrow MP \bot MB\left( {MP//CN} \right)\)

Giải chi tiết

a) + Ta có: \(AB = 2AD \Rightarrow AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.8 = 4cm\)

Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là: \({S_{ABCD}} = AB.AD = 8.4 = 32\left( {c{m^2}} \right)\)

+ \(ABCD\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow AB = DC\) và \(AB//CD\)

\(\Delta ABH\) có: \(M\) là trung điểm của \(AH\) (gt) và \(N\) là trung điểm của \(BH\) (gt)

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABH\)

\( \Rightarrow MN//AB\) và \(MN = \frac{1}{2}AB\)

\(P\) là trung điểm của \(CD\) (gt) \( \Rightarrow PC = \frac{1}{2}CD\) mà \(AB = CD\) nên \(PC = \frac{1}{2}AB\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MN//AB\\AB//CD\end{array} \right. \Rightarrow MN//CD \Rightarrow MN//PC\) (vì \(P \in CD\))

Tứ giác \(MNCP\) có: \(MN//PC\) và \(MN = PC\left( { = \frac{1}{2}AB} \right)\)

\( \Rightarrow MNCP\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

b) \(ABCD\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow AB \bot BC\) mà \(MN//AB\) (cmt) nên \(MN \bot BC\)

Tam giác \(BCM\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}MN \bot BC\left( {cmt} \right)\\BH \bot MC\left( {gt} \right)\end{array} \right.\) mà \(MH,BH\) giao nhau tại \(N\)

\( \Rightarrow N\) là trực tâm của tam giác \(BCM\)

\( \Rightarrow CN \bot BM\)

\(MNCP\) là hình bình hành (cmt) \( \Rightarrow CN//PM\) (tính chất của hình bình hành)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CN//PM\\CN \bot BM\end{array} \right. \Rightarrow PM \bot BM\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link