Cho tam giác nhọn \(ABC\)\(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Kẻ
Cho tam giác nhọn \(ABC\)\(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H\), \(BE\) vuông góc với đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABHE\) nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh \(HE\) vuông góc với \(AC\)
c) Tia phân giác của góc \(BAC\) cắt dường tròn \(\left( O \right)\) tại \(F\) (\(F\) khác \(A\)). \(M\) là giao điểm của \(OF\) và \(BC\). Gọi \(K\) là trung điểm của \(AB\), \(I\) là giao điểm của \(KM\) và \(HE\). Chứng minh tam giác \(MEH\) cân và \(AE.EM = AB.EI\).
Quảng cáo
a) Vận dụng dâu hiệu: Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi \(G\) là giao điểm của \(AH\) với đường tròn \(\left( O \right)\)
\(N\) là giao điểm giữa \(HE\) và \(AC\).
Chứng minh \(BGDC\) là hình thang cân \( \Rightarrow \angle BAG = \angle DAC\)( hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)
Chứng minh tam giác \(AHN\) vuông tại \(N\) hay \(HE \bot AC\) (đpcm).
c) + Chứng minh \(KM \bot HE\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Chứng minh \(KE = KH\)
Khi đó, có \(KM\) vừa là đường cao vừa là đường trung trực của \(HE\).
Vậy \(MEH\) cân tại \(M\).
+ Chứng minh \(\Delta EAB \sim \Delta IEM\,\,\,\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{EM}} = \frac{{AE}}{{EI}}\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow AB.EI = AE.EM\)(đpcm).
a) Tứ giác \(ABHE\) có \(\angle AHB = \angle AEB = {90^0}\)
Suy ra tứ giác \(ABHE\) nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
b) Gọi \(G\) là giao điểm của \(AH\) với đường tròn \(\left( O \right)\)
\(N\) là giao điểm giữa \(HE\) và \(AC\).
Ta có: \(AG \bot GD\) (\(\angle AGD = {90^0}\) - góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và \(AG \bot BC\,\,\left( {AH \bot BC} \right)\) nên suy ra \(GD//BC\) (từ vuông góc đến song song).
Ta có tứ giác \(BGDC\) có: \(GD//BC\,\,\left( {cmt} \right)\) và \(G,B,C,D\) cùng nằm trên đường tròn \(\left( O \right)\)
Nên tứ giác \(BGDC\) là hình thang cân \( \Rightarrow BG = DC \Rightarrow sdcBG = sdcDC\).
\( \Rightarrow \angle BAG = \angle DAC\)( hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)
Ta có: \(\angle BAG + \angle HAE + \angle ABE = {90^0}\)( tam giác vuông \(ABE\))
Lại có: \(\angle ABE = \angle AHE\) (do tứ giác \(ABHE\) nội tiếp)
Suy ra \(\angle HAE + \angle AHE + \angle DAC = {90^0}\) \( \Rightarrow \angle HAN + \angle AHE = {90^0}\).
Suy ra tam giác \(AHN\) vuông tại \(N\) hay \(HE \bot AC\) (đpcm).
c) +) Ta có \(AF\) là tia phân giác của góc \(BAC\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(sdcBF = sdcCF\)\( \Rightarrow BF = CF\) (2 dây căn hai cung bằng nhau thì bằng nhau) \( \Rightarrow F\) thuộc trung trực của \(BC\).
Mà \(OB = OC\,\,\left( { = R} \right) \Rightarrow O\) thuộc trung trực của \(BC\).
\( \Rightarrow OF\) là đường trung trực của \(BC\) \( \Rightarrow M\) là trung điểm của \(BC\).
\( \Rightarrow KM\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) (định nghĩa) \( \Rightarrow KM//AC\) (tính chất).
Mà \(HE \bot AC\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow KM \bot HE\) (từ vuông góc đến song song).
Ta có \(ABHE\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(AB\) (cmt) nên \(K\) là tâm của đường tròn này.
Do đó \(KE = KH\).
\( \Rightarrow \Delta KEH\)cân tại \(K\) (định nghĩa).
\( \Rightarrow KM\) vừa là đường cao vừa là đường trung trực của \(HE\) \( \Rightarrow MH = ME\).
Vậy \(MEH\) cân tại \(M\).
+) Ta có \(ABHE\) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\angle EHM = \angle EAB\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
Mà \(MEH\) cân tại \(M\,\,\left( {cmt} \right)\) nên \(\angle EHM = \angle MEH \Rightarrow \angle MEH = \angle MEI = \angle EAB\).
Xét \(\Delta EAB\) và \(\Delta IEM\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle MEI = \angle EAB\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle MIE = \angle AEB = {90^0}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \Delta EAB \sim \Delta IEM\,\,\,\left( {g.g} \right)\).
\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{EM}} = \frac{{AE}}{{EI}}\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow AB.EI = AE.EM\)(đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
