Cho hàm số \(y = mx + 3\) có đồ thị là \(\left( {{d_1}} \right)\) và hàm số \(y = \dfrac{{ - 1}}{m}x +

Câu hỏi số 519823:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = mx + 3\) có đồ thị là \(\left( {{d_1}} \right)\) và hàm số \(y = \dfrac{{ - 1}}{m}x + 3\) có đồ thị là \(\left( {{d_2}} \right)\,\,\,\left( {m \ne 0} \right)\)

1) Với \(m = 1\)

a) Vẽ các đồ thị \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) cắt \(\left( {{d_2}} \right)\).

2) Gọi \(A\) là giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\); \(B\) và \(C\) lần lượt là giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) với trục hoành. Tìm \(m\) để diện tích tam giác \(ABC\) nhỏ nhất. Tính diện tích nhỏ nhất đó.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:519823

Phương pháp giải

1) a) Thay \(m\) vào từng công thức của đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\)

Lập bảng giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\) của từng đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\)

Vẽ đồ thị của đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\)

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) để tìm giao điểm của hai đường thẳng.

2) Xác định giao điểm \(A,B\) và \(C\) theo yêu cầu của đề bài

Nhận xét về vị trí của điểm \(O\) với điểm \(B,C\)

Tính độ dài đoạn \(OA,BC\) từ đó nhận xét \(OA\) luôn không đổi, \(BC\) phụ thuộc vào giá trị của tham số \(m\)

Xác định công thức tính diện tich của tam giác \(ABC\) là: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}OA.BC\)

Biện luận \({S_{\Delta ABC}}\) nhỏ nhất khi \(BC\) nhỏ nhất (vì \(OA\) không đổi)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si để tìm giá trí nhỏ nhất của \(BC\)

Từ đó tính được diện tích nhỏ nhất của tam giác \(ABC\) và tìm được tham số \(m\).

Giải chi tiết

1) + Với \(m = 1\), công thức xác định hàm số của đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = x + 3\).

Bảng giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\):

+ Với \(m = 1\), công thức xác định hàm số của đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):y = - x + 3\).

Bảng giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\):

Vẽ đồ thị của đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\):

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\), ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x + 3 = - x + 3\\ \Leftrightarrow 2x = 0\\ \Leftrightarrow x = 0\end{array}\)

Với \(x = 0\), suy ra \(y = 3\)

Vậy giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) có tọa độ là \(\left( {0;3} \right)\)

Với điều kiện \(m \ne 0\) (gt)

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm của của đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\), ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,mx + 3 = \dfrac{{ - 1}}{m}x + 3\\ \Leftrightarrow \left( {m + \dfrac{1}{m}} \right)x = 0\,\,\\ \Leftrightarrow x = 0\end{array}\)

Suy ra giao điểm \(A\) của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) có tọa độ là \(A\left( {0;3} \right)\)

+ \(B\) là giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) với trục hoành \( \Rightarrow B\left( {\dfrac{{ - 3}}{m};0} \right)\)

+ \(C\) là giao điểm của \(\left( {{d_2}} \right)\) với trục hoành \( \Rightarrow C\left( {3m;0} \right)\)

Vì \(m \ne 0\) nên \(\dfrac{{ - 3}}{m}\) và \(3m\) khác dấu nên \(O\) nằm giữa \(B\) và \(C\)\( \Rightarrow BC = BO + OC\)

Ta có: \(OB = \left| {\dfrac{{ - 3}}{m}} \right|;\,\,\,OC = \left| {3m} \right|\) nên \(BC = \left| {\dfrac{{ - 3}}{m}} \right| + \left| {3m} \right|\)

Vì điểm \(A\) nằm trên trục tung và hai điểm \(B,C\) nằm trên trục hoành nên \(OA \bot BC\)

Khi đó, diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AO.BC\)

Ta có: \(OA = \left| 3 \right| = 3\) không đổi

Do đó, \({S_{\Delta ABC}}\) nhò nhất khi \(BC\) nhỏ nhất

Vì \(\left| {\dfrac{{ - 3}}{m}} \right|\) và \(\left| {3m} \right|\) là độ dài của các đoạn thẳng nên là các số dương, nên dụng bất đẳng thức cho hai số \(\left| {\dfrac{{ - 3}}{m}} \right|\) và \(\left| {3m} \right|\), ta được:

\(BC = \left| {\dfrac{{ - 3}}{m}} \right| + \left| {3m} \right| \ge 2\sqrt {\left| {\dfrac{{ - 3}}{m}} \right|.\left| {3m} \right|} = 2.\sqrt 9 = 6\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left| {\dfrac{{ - 3}}{m}} \right| = \left| {3m} \right| \Leftrightarrow \left| {{m^2}} \right| = 1 \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1\) (tmđk)

Khi đó: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.6.3 = 9\) (đvdt)

Vậy diện tích \(\Delta ABC\) nhỏ nhất bằng \(9\) (đvdt) khi \(m = \pm 1\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link