Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(A\) cố định thuộc đường tròn. Kẻ tia \(Ax\)

Câu hỏi số 519824:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(A\) cố định thuộc đường tròn. Kẻ tia \(Ax\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A\). Trên tia \(Ax\) lấy điểm \(M\) cố định (\(M\) không trùng với \(A\)). Đường thẳng \(d\) thay đổi đi qua \(M\) và không đi qua tâm \(O\), cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(B\) và \(C\) (\(B\) nằm giữa \(C\) và \(M\); \(\angle ABC < {90^0}\)). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).

1) Chứng minh bốn điểm \(A,O,I,M\) cùng thuộc một đường tròn.

2) Vẽ đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(H\) đối xứng với \(D\) qua \(I\). Tính \(HA\) biết tâm \(O\) cách đường thẳng \(d\) là \(2cm\).

3) Chứng minh rằng \(H\) và \(A\) cùng thuộc một đường tròn cố định khi đường thẳng \(d\) thay đổi.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:519824

Phương pháp giải

1) Chứng minh \(A,I\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OM\)

2) + Vận dụng dấu hiệu nhận biết của hình bình hành chứng minh tứ giác \(BHCD\) là hình bình hành (tứ giác có cặp cạnh đối song song với nhau)

Suy ra được \(I\) là trung điểm của \(DH\) hay \(H\) đối xứng với \(D\) qua \(I\)

+ Chứng minh \(OI\) là đường trung bình của tam giác \(ADH\)\( \Rightarrow AH = 2OI\) và tính được được \(AH\)

3) Gọi \(K\) là điểm sao cho tứ giác \(AOMK\) là hình bình hành

Gọi \(J\) là điểm đối xứng với \(O\) qua \(I\)

Chứng minh được tứ giác \(AOJH\) là hình bình hành \( \Rightarrow HJ//AO;HJ = AO\)

Chứng minh được tứ giác \(MJHK\) là hình bình hành \( \Rightarrow MJ = KH\)

Lập luận được \(KH = MJ = MO = KA\)

Lập luận được \(K\) cố định, \(KA\) không đổi nên \(KH\) không đổi từ đó đưa ra kết luận.

Giải chi tiết

1) + \(Ax\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow Ax \bot AO \Rightarrow AM \bot AO\) (vì \(M \in Ax\))

\( \Rightarrow \angle MAO = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta MAO\) vuông tại \(A\)

\( \Rightarrow A\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\,\,\,\left( 1 \right)\)

+ Xét \(\left( O \right)\) có \(I\) là trung điểm của dây cung \(BC\)\( \Rightarrow OI \bot BC\) (quan hệ đường kính và dậy cung trong đường tròn)

\( \Rightarrow OI \bot IM\) (vì \(C,I,B,M\) vì cùng thuộc đường thẳng \(d\))

\( \Rightarrow \angle MIO = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta MIO\) vuông tại \(I\)

\( \Rightarrow I\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), suy ra \(A,I\)cùng thuộc đường tròn đường kính \(MO\)

Do đó, bốn điểm \(A,O,I,M\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OM\).

2) + Chứng minh được \(BHCD\) là hình bình hành

Theo giả thiết: \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC \Rightarrow CH \bot AB\) và \(BH \bot AC\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có: \(B \in \left( O \right) \Rightarrow \angle ABD = {90^0} \Rightarrow BD \bot AB\)

\(C \in \left( O \right) \Rightarrow \angle ACD = {90^0} \Rightarrow DC \bot AC\)

Ta có:

+ \(\left\{ \begin{array}{l}CH \bot AB\left( {cmt} \right)\\BD \bot AB\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CH//BD\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}DC \bot AC\left( {cmt} \right)\\BH \bot AB\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow DC//BH\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Tứ giác \(BDCH\) có: \(CH//BD;DC//BH\) nên \(BDCH\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

\( \Rightarrow \) Hai đường chéo \(BC\) và \(DH\) giao nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(I\) cũng là trung điểm của \(DH\)

Suy ra, \(H\) đối xứng với \(D\) qua \(I\).

+ Theo giả thiết tâm \(O\) cách đường thẳng \(d\) là \(2cm \Rightarrow OI = 2cm\)

Xét \(\Delta ADH\) có:

\(I\) là trung điểm của \(DH\) (cmt)

\(O\) là trung điểm của \(AD\) (vì \(AD\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right)\))

\( \Rightarrow OI\) là đường trung bình của \(\Delta ADH\)

\( \Rightarrow OI = \dfrac{1}{2}AH\) hay \(AH = 2OI\)\( \Rightarrow AH = 2.2 = 4\left( {cm} \right)\)

Gọi \(K\) là điểm sao cho tứ giác \(AOMK\) là hình bình hành

Gọi \(J\) là điểm đối xứng với \(O\) qua \(I\) suy ra \(I\) là trung điểm của \(OJ \Rightarrow OI = \dfrac{1}{2}OJ\)

Ta có: \(OI//AH\) và \(OI = \dfrac{1}{2}AH\) (cmt)

Nên suy ra, \(OJ//AH\) và \(OJ = AH\) nên \(AOJH\) là hình bình hành (dhnb hình bình hành)

\( \Rightarrow HJ\)//\(AO\) và \(HJ = AO\)

\(AOMK\) là hình bình hành (do cách dựng hình) \( \Rightarrow MK = OA;MK//AO\)

Ta có: \(MK = HJ\left( { = AO} \right);MK//HJ\left( {//AO} \right)\) nên \(MJHK\) là hình bình hành (dhnb hình bình hành)

\( \Rightarrow MJ = KH\)

+ Lập luận được \(K\) cố định, \(KA\) không đổi, suy ra \(KH\) không đổi

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OJ//AH\left( {cmt} \right)\\AH \bot BC\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OJ \bot BC\) (quan hệ từ vuông góc đến song song) \( \Rightarrow OJ \bot IM\)

Tam giác \(JMO\) có \(OJ \bot IM\) và \(I\) là trung điểm của \(OJ\) nên \(MI\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên \(\Delta JMO\) là tam giác cân \( \Rightarrow MJ = MO\)

Do đó, \(KH = MJ = MO = KA\)

Do \(K\) là điểm cố định nên \(KA\) không đổi do đó \(KH\) không đổi

Vậy \(H\) và \(A\) cùng thuộc đường tròn \(\left( {K,KA} \right)\) cố định khi đường thẳng \(d\) thay đổi.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link