Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 3xyz\). Chứng minh rằng:

Câu hỏi số 520067:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 3xyz\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{x^2}}}{{{x^4} + yz}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{y^4} + xz}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{z^4} + xy}} \le \dfrac{3}{2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:520067

Phương pháp giải

+ Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số \({x^4}\) và \(yz\) ta có: \({x^4} + yz \ge 2\sqrt {{x^4}zy} = 2{x^2}\sqrt {yz} \) và tương tự với các hạng tử còn lại.

+ Sử dụng bất đẳng thức phụ: \({\left( {a + b + c} \right)^2} \le 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)(Sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh).

+Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số \({x^2},{y^2},{z^2}\)

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số \({x^4}\) và \(yz\) ta có: \({x^4} + yz \ge 2\sqrt {{x^4}zy} = 2{x^2}\sqrt {yz} \).

Tương tự: \(\left\{ \begin{array}{l}{y^4} + xz \ge 2\sqrt {{y^4}xz} = 2{y^2}\sqrt {xz} \\{z^4} + xy \ge 2{z^2}\sqrt {xy} \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{x^4} + yz}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{y^4} + xz}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{z^4} + xy}} \le \dfrac{{{x^2}}}{{2{x^2}\sqrt {yz} }} + \dfrac{{{y^2}}}{{2{y^2}\sqrt {xz} }} + \dfrac{{{z^2}}}{{2{z^2}\sqrt {xy} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{x^4} + yz}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{y^4} + xz}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{z^4} + xy}} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {yz} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {xz} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {xy} }}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{x^4} + yz}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{y^4} + xz}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{z^4} + xy}} \le \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z }}{{\sqrt {xyz} }}\end{array}\)

Sử dụng bất đẳng thức phụ: \({\left( {a + b + c} \right)^2} \le 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)(Sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh).

\({\left( {\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z } \right)^2} \le 3\left( {x + y + z} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {x + y + z} \right)^2} \le 3.\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) = 9xyz\\ \Rightarrow x + y + z \le 3\sqrt {xyz} \\ \Rightarrow {\left( {\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z } \right)^2} \le 3.3\sqrt {xyz} = 9\sqrt {xyz} \\ \Rightarrow \sqrt x + \sqrt y + \sqrt z \le 3\sqrt[4]{{xyz}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{x^4} + yz}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{y^4} + xz}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{z^4} + xy}} \le \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3\sqrt[4]{{xyz}}}}{{\sqrt {xyz} }} = \dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{{\sqrt[4]{{xyz}}}}\)

Ta sẽ chứng minh \(\sqrt[4]{{xyz}} \ge 1\):

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số \({x^2},{y^2},{z^2}\) ta được

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 3\sqrt[3]{{{{\left( {xyz} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow 3xyz \ge 3\sqrt[3]{{{{\left( {xyz} \right)}^2}}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \sqrt[3]{{xyz}} \ge 1\)(Vì \(xyz > 0\))

\( \Rightarrow xyz \ge 1 \Rightarrow \sqrt[4]{{xyz}} \ge 1\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z = 1\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link