Cho đường tròn \(\left( {O,\,R} \right)\) và đường thẳng \(d\) không đi qua \(O\) cắt đường tròn

Câu hỏi số 520066:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O,\,R} \right)\) và đường thẳng \(d\) không đi qua \(O\) cắt đường tròn tại hai điểm \(A,\,\,B\). Lấy một điểm \(M\) trên tia đối của tia \(BA\) kẻ hai tiếp tuyến \(MC,\,MD\) với đường tròn (\(C\), \(D\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\)là trung điểm của \(AB\).

a) Chứng minh rằng các điểm \(M,\,D,\,O,\,H\) cùng nằm trên một đường tròn.

b) Đoạn \(OM\) cắt đường tròn tại \(I\). Chứng minh rằng \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(MCD\).

c) Đường thẳng qua \(O\), vuông góc với \(OM\)cắt các tia \(MC,\,MD\) theo thứ tự tại \(P\) và \(Q\). Tìm vị trí của điểm \(M\) trên \(d\) sao cho diện tích tam giác \(MQP\) bé nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:520066

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác \(MDOH\) nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp)

\( \Rightarrow M,D,O,H\) cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh \(MI\) là phân giác của góc \(CMD\) và \(CI\) là phân giác của góc \(MCD\)

c) Xác định được \({S_{MPQ}} = MO.OP\)\( = MP.CO = \left( {MC + CP} \right).CO \ge 2\sqrt {MC.CP} .CO\)

Từ đó, xác định được diện tích nhỏ nhất của tam giác \(MQP\).

Giải chi tiết

a) Do \(H\) là trung điểm của \(AB\) nên \(OH \bot AB\) (mối quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Xét tứ giác \(MDOH\) có: \(\angle MHO + \angle MDO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(MDOH\) nội tiếp. (dhnb)

Vậy các điểm \(M,\,D,\,O,\,H\) cùng nằm trên một đường tròn.

b) Do \(MC,\,MD\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên:

\(MO\) là phân giác của \(\angle CMD\) hay \(MI\) là phân giác của góc \(CMD\) (1)

\(OI\) là phân giác của \(\angle COD\) hay \(\angle COI = \angle DOI\) \( \Rightarrow \)

Suy ra \(CI\) là phân giác của góc \(MCD\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(I\) là giao điểm của các đường phân giác của \(\Delta MCD\)

\( \Rightarrow I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(MCD\). (đpcm)

c) Ta có: \({S_{MPQ}} = \dfrac{1}{2}MO.PQ = \dfrac{1}{2}.MO.2.OP = MO.OP\)

Mà \(\Delta MCO\ đồng dạng \Delta MOP\,\,\,\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{MO}}{{MP}} = \dfrac{{CO}}{{OP}} \Rightarrow MO.OP = MP.CO\)

\( \Rightarrow {S_{MPQ}} = MP.CO = \left( {MC + CP} \right).CO \ge 2\sqrt {MC.CP} .CO\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow MC = CP\)\( \Leftrightarrow \Delta MOP\) vuông cân

\( \Leftrightarrow \angle PMO = {45^0} \Leftrightarrow \angle CMD = {90^0}\)

\( \Leftrightarrow MCOD\) là hình vuông cạnh \(R\)\( \Leftrightarrow MO = R\sqrt 2 \).

Vậy diện tích tam giác \(MQP\) bé nhất khi \(MO = R\sqrt 2 .\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link