Giải phương trình \(x + 1 + \sqrt {2x + 1} - \sqrt {{x^2} + 8x + 4} = 0\)

Câu hỏi số 520206:

Vận dụng

A. \(S = \left\{ {0;\frac{{ - 1}}{2}} \right\}\)

B. \(S = \left\{ {0;\frac{1}{2}} \right\}\)

C. \(S = \left\{ {\frac{1}{2};\,0} \right\}\)

D. \(S = \left\{ {\frac{{ - 1}}{2};\,0} \right\}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:520206

Phương pháp giải

1) a) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta \ge 0\)

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta > 0\)

Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính được \({x_1} + {x_2},{x_1}.{x_2}\)

Theo đề bài phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) thỏa mãn \(1 < {x_1} < {x_2}\) nên ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} > 2}\\{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) > 0}\end{array}} \right.\)

Thay \({x_1} + {x_2},{x_1}.{x_2}\) vào hệ bất phương trình, giải và tìm được các giá trị của tham số \(m\).

2) Tìm điều kiện xác định của phương trình

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = x + 1}\\{b = \sqrt {2x + 1} \,\,\,\left( {b \ge 0} \right)}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow {a^2} + 3{b^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} + 3\left( {2x + 1} \right) = {x^2} + 8x + 4\)

Thay vào phương trình, sau đó giải phương trình với ẩn là \(a\) và \(b\)

Xác định được \(a\) và \(b\) từ đó tìm được \(x\).

Giải chi tiết

2) ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 1 \ge 0}\\{{x^2} + 8x + 4 \ge 0}\end{array}} \right.\,\,\left( * \right)\).

Khi đó ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,a + b - \sqrt {{a^2} + 3{b^2}} = 0\\ \Leftrightarrow a + b = \sqrt {{a^2} + 3{b^2}} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b \ge 0\\{\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 3{b^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b \ge 0\\{a^2} + 2ab + {b^2} = {a^2} + 3{b^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b \ge 0\\2ab - 2{b^2} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b \ge 0\\2b\left( {a - b} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b \ge 0\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 0}\\{a = b}\end{array}} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(b = 0 \Rightarrow \sqrt {2x + 1} = 0 \Leftrightarrow 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2}\,\,\,\left( {tm\,\,\left( * \right)} \right)\).

Khi đó ta có \(a = x + 1 = \frac{1}{2} \Rightarrow a + b = \frac{1}{2} > 0\,\,\left( {tm} \right)\).

+) Với \(a = b \Rightarrow x + 1 = \sqrt {2x + 1} \Rightarrow a + b \ge 0\,\,\left( {tm} \right)\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\{x^2} + 2x + 1 = 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\{x^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\left( {tm\,\,\left( * \right)} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ {\frac{{ - 1}}{2};\,0} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link