Cho \(x,y,z\) là các số dương thỏa mãn \(xyz = 1.\) Chứng minh rằng:\(\dfrac{{{x^2}}}{{yz}} +

Câu hỏi số 521154:

Vận dụng cao

Cho \(x,y,z\) là các số dương thỏa mãn \(xyz = 1.\) Chứng minh rằng:

\(\dfrac{{{x^2}}}{{yz}} + \dfrac{{{y^2}}}{{xz}} + \dfrac{{{z^2}}}{{xy}} \ge 2\left( {\dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{y}{{z + x}} + \dfrac{z}{{x + y}}} \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:521154

Phương pháp giải

2) Biến đổi bất đẳng thức, sau đó đặt \(\dfrac{1}{x} = a,\,\,\dfrac{1}{y} = b,\,\,\dfrac{1}{z} = c\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c > 0,\,\,abc = 1} \right)\).

Chứng minh \(\dfrac{1}{{{a^3}}} + \dfrac{1}{{{b^3}}} + \dfrac{1}{{{c^3}}} \ge 2\left( {\dfrac{1}{{{a^2}\left( {b + c} \right)}} + \dfrac{1}{{{b^2}\left( {c + a} \right)}} + \dfrac{1}{{{c^2}\left( {a + b} \right)}}} \right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM để chứng minh.

Giải chi tiết

2) Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{{x^2}}}{{yz}} + \dfrac{{{y^2}}}{{xz}} + \dfrac{{{z^2}}}{{xy}} \ge 2\left( {\dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{y}{{z + x}} + \dfrac{z}{{x + y}}} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 2\left( {\dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{y}{{z + x}} + \dfrac{z}{{x + y}}} \right)\end{array}\)

Đặt \(\dfrac{1}{x} = a,\,\,\dfrac{1}{y} = b,\,\,\dfrac{1}{z} = c\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c > 0,\,\,abc = 1} \right)\).

Khi đó ta có: \(\dfrac{x}{{y + z}} = \dfrac{{\dfrac{1}{a}}}{{\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{a}}}{{\dfrac{{b + c}}{{bc}}}} = \dfrac{1}{a}.\dfrac{{bc}}{{b + c}} = \dfrac{1}{{{a^2}\left( {b + c} \right)}}\)

Tương tự ta có: \(\dfrac{y}{{z + x}} = \dfrac{1}{{{b^2}\left( {c + a} \right)}};\,\,\dfrac{z}{{x + y}} = \dfrac{1}{{{c^2}\left( {a + b} \right)}}\).

Do đó ta cần chứng minh \(\dfrac{1}{{{a^3}}} + \dfrac{1}{{{b^3}}} + \dfrac{1}{{{c^3}}} \ge 2\left( {\dfrac{1}{{{a^2}\left( {b + c} \right)}} + \dfrac{1}{{{b^2}\left( {c + a} \right)}} + \dfrac{1}{{{c^2}\left( {a + b} \right)}}} \right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(\dfrac{1}{{{a^3}}} + \dfrac{1}{{{a^3}}} + \dfrac{1}{{{b^3}}} \ge \dfrac{3}{{{a^2}b}}\), \(\dfrac{1}{{{a^3}}} + \dfrac{1}{{{a^3}}} + \dfrac{1}{{{c^3}}} \ge \dfrac{3}{{{a^2}c}}\).

Cộng vế theo vế 2 BĐT trên ta được: \(\dfrac{4}{{{a^3}}} + \dfrac{1}{{{b^3}}} + \dfrac{1}{{{c^3}}} \ge \dfrac{3}{{{a^2}b}} + \dfrac{3}{{{a^2}c}} \ge \dfrac{{12}}{{{a^2}\left( {b + c} \right)}}\).

Tương tự ta có

\(\begin{array}{l}\dfrac{4}{{{b^3}}} + \dfrac{1}{{{c^3}}} + \dfrac{1}{{{a^3}}} \ge \dfrac{{12}}{{{b^2}\left( {c + a} \right)}}\\\dfrac{4}{{{c^3}}} + \dfrac{1}{{{a^3}}} + \dfrac{1}{{{b^3}}} \ge \dfrac{{12}}{{{c^2}\left( {a + b} \right)}}\end{array}\)

Cộng vế theo vế ta có

\(\begin{array}{l}6\left( {\dfrac{1}{{{a^3}}} + \dfrac{1}{{{b^3}}} + \dfrac{1}{{{c^3}}}} \right) \ge 12\left( {\dfrac{1}{{{a^2}\left( {b + c} \right)}} + \dfrac{1}{{{b^2}\left( {c + a} \right)}} + \dfrac{1}{{{c^2}\left( {a + b} \right)}}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^3}}} + \dfrac{1}{{{b^3}}} + \dfrac{1}{{{c^3}}} \ge 2\left( {\dfrac{1}{{{a^2}\left( {b + c} \right)}} + \dfrac{1}{{{b^2}\left( {c + a} \right)}} + \dfrac{1}{{{c^2}\left( {a + b} \right)}}} \right)\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link