Cho \(x,y,z\) là các số dương thỏa mãn \(xyz = 1.\) Chứng minh rằng:\(\dfrac{{{x^2}}}{{yz}} +

Câu hỏi số 521154:

Vận dụng cao

Cho \(x,y,z\) là các số dương thỏa mãn \(xyz = 1.\) Chứng minh rằng:

\(\dfrac{{{x^2}}}{{yz}} + \dfrac{{{y^2}}}{{xz}} + \dfrac{{{z^2}}}{{xy}} \ge 2\left( {\dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{y}{{z + x}} + \dfrac{z}{{x + y}}} \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:521154

Phương pháp giải

2) Biến đổi bất đẳng thức, sau đó đặt \(\dfrac{1}{x} = a,\,\,\dfrac{1}{y} = b,\,\,\dfrac{1}{z} = c\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c > 0,\,\,abc = 1} \right)\).

Chứng minh \(\dfrac{1}{{{a^3}}} + \dfrac{1}{{{b^3}}} + \dfrac{1}{{{c^3}}} \ge 2\left( {\dfrac{1}{{{a^2}\left( {b + c} \right)}} + \dfrac{1}{{{b^2}\left( {c + a} \right)}} + \dfrac{1}{{{c^2}\left( {a + b} \right)}}} \right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM để chứng minh.

Giải chi tiết

2) Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{{x^2}}}{{yz}} + \dfrac{{{y^2}}}{{xz}} + \dfrac{{{z^2}}}{{xy}} \ge 2\left( {\dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{y}{{z + x}} + \dfrac{z}{{x + y}}} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 2\left( {\dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{y}{{z + x}} + \dfrac{z}{{x + y}}} \right)\end{array}\)

Đặt \(\dfrac{1}{x} = a,\,\,\dfrac{1}{y} = b,\,\,\dfrac{1}{z} = c\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c > 0,\,\,abc = 1} \right)\).

Khi đó ta có: \(\dfrac{x}{{y + z}} = \dfrac{{\dfrac{1}{a}}}{{\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{a}}}{{\dfrac{{b + c}}{{bc}}}} = \dfrac{1}{a}.\dfrac{{bc}}{{b + c}} = \dfrac{1}{{{a^2}\left( {b + c} \right)}}\)

Tương tự ta có: \(\dfrac{y}{{z + x}} = \dfrac{1}{{{b^2}\left( {c + a} \right)}};\,\,\dfrac{z}{{x + y}} = \dfrac{1}{{{c^2}\left( {a + b} \right)}}\).

Do đó ta cần chứng minh \(\dfrac{1}{{{a^3}}} + \dfrac{1}{{{b^3}}} + \dfrac{1}{{{c^3}}} \ge 2\left( {\dfrac{1}{{{a^2}\left( {b + c} \right)}} + \dfrac{1}{{{b^2}\left( {c + a} \right)}} + \dfrac{1}{{{c^2}\left( {a + b} \right)}}} \right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(\dfrac{1}{{{a^3}}} + \dfrac{1}{{{a^3}}} + \dfrac{1}{{{b^3}}} \ge \dfrac{3}{{{a^2}b}}\), \(\dfrac{1}{{{a^3}}} + \dfrac{1}{{{a^3}}} + \dfrac{1}{{{c^3}}} \ge \dfrac{3}{{{a^2}c}}\).

Cộng vế theo vế 2 BĐT trên ta được: \(\dfrac{4}{{{a^3}}} + \dfrac{1}{{{b^3}}} + \dfrac{1}{{{c^3}}} \ge \dfrac{3}{{{a^2}b}} + \dfrac{3}{{{a^2}c}} \ge \dfrac{{12}}{{{a^2}\left( {b + c} \right)}}\).

Tương tự ta có

\(\begin{array}{l}\dfrac{4}{{{b^3}}} + \dfrac{1}{{{c^3}}} + \dfrac{1}{{{a^3}}} \ge \dfrac{{12}}{{{b^2}\left( {c + a} \right)}}\\\dfrac{4}{{{c^3}}} + \dfrac{1}{{{a^3}}} + \dfrac{1}{{{b^3}}} \ge \dfrac{{12}}{{{c^2}\left( {a + b} \right)}}\end{array}\)

Cộng vế theo vế ta có

\(\begin{array}{l}6\left( {\dfrac{1}{{{a^3}}} + \dfrac{1}{{{b^3}}} + \dfrac{1}{{{c^3}}}} \right) \ge 12\left( {\dfrac{1}{{{a^2}\left( {b + c} \right)}} + \dfrac{1}{{{b^2}\left( {c + a} \right)}} + \dfrac{1}{{{c^2}\left( {a + b} \right)}}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^3}}} + \dfrac{1}{{{b^3}}} + \dfrac{1}{{{c^3}}} \ge 2\left( {\dfrac{1}{{{a^2}\left( {b + c} \right)}} + \dfrac{1}{{{b^2}\left( {c + a} \right)}} + \dfrac{1}{{{c^2}\left( {a + b} \right)}}} \right)\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link