Cho \(a\) và \(b\) là hai số hữu tỉ. Chứng minh rằng \(a\sqrt 2 + b\sqrt 3 \) cũng là số hữu

Câu hỏi số 521409:

Vận dụng cao

Cho \(a\) và \(b\) là hai số hữu tỉ. Chứng minh rằng \(a\sqrt 2 + b\sqrt 3 \) cũng là số hữu tỉ thì \(a = b = 0\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:521409

Phương pháp giải

Ta có: \(\left( {a\sqrt 2 + b\sqrt 3 } \right)\left( {a\sqrt 2 - b\sqrt 3 } \right) = 2{a^2} - 3{b^2}\) biện luận từng thừa số và tích để kết luận.

Giải chi tiết

Ta có \(\left( {a\sqrt 2 + b\sqrt 3 } \right)\left( {a\sqrt 2 - b\sqrt 3 } \right) = 2{a^2} - 3{b^2}\).

Vì \(a,\,\,b \in \mathbb{Q} \Rightarrow 2{a^2} - 3{b^2} \in \mathbb{Q} \Rightarrow \left( {a\sqrt 2 + b\sqrt 3 } \right)\left( {a\sqrt 2 - b\sqrt 3 } \right) \in \mathbb{Q}\).

Mà \(a\sqrt 2 + b\sqrt 3 \in \mathbb{Q} \Rightarrow a\sqrt 2 - b\sqrt 3 \in \mathbb{Q}\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a\sqrt 2 + b\sqrt 3 } \right) + \left( {a\sqrt 2 - b\sqrt 3 } \right) \in \mathbb{Q}\\\left( {a\sqrt 2 + b\sqrt 3 } \right) - \left( {a\sqrt 2 - b\sqrt 3 } \right) \in \mathbb{Q}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a\sqrt 2 \in \mathbb{Q}\\2b\sqrt 3 \in \mathbb{Q}\end{array} \right. \Rightarrow a = b = 0\).

Vậy với \(a,\,\,b \in \mathbb{Q},\) nếu \(a\sqrt 2 + b\sqrt 3 \) cũng là số hữu tỉ thì \(a = b = 0\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link