Tìm số tự nhiên \(x,y,z\) biết: \(x \le y \le z\) và \({2^x} + {3^y} + {5^z} = 156\).

Câu hỏi số 524600:

Vận dụng cao

A. \(x = 2;y = 3;z = 2\)

B. \(x = 3;y = 2;z = 3\)

C. \(x = 2;y = 3;z = 3\)

D. \(x = 3;y = 2;z = 2\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:524600

Phương pháp giải

Vận dụng phương pháp đánh giá từng vế của phương trình để tìm \(x,y,z\)

Giải chi tiết

Vì \({2^x}{,3^y}{,5^z} \ge 1,\forall x,y,z \in \mathbb{N}\)

\( \Rightarrow {5^z} < 156 < 625 = {5^4}\) \( \Rightarrow z < 4\)hay \(z \le 3\)

Với \(z = 2 \Rightarrow {2^x} + {3^y} + {5^2} = 156 \Rightarrow {2^x} + {3^y} = 131\)

Vì \(x \le y \le z \Rightarrow x \le y \le 2 \Rightarrow {2^x} + {3^y} \le {2^2} + {3^2} = 13\) (loại)

Vậy \(z = 3 \Rightarrow {2^x} + {3^y} + {5^3} = 156 \Rightarrow {2^x} + {3^y} = 156 - 125 = 31\)

Ta có: \(x \le y \le 3\)

Vì \({3^y} < 31 < 81 = {3^4} \Rightarrow y < 4\) hay \(y \le 3\)

Với \(y = 2 \Rightarrow {2^x} + {3^2} = 31 \Rightarrow {2^x} = 31 - 9 = 22\) (loại)

Với \(y = 1 \Rightarrow {2^x} + {3^1} = 31 \Rightarrow {2^x} = 31 - 3 = 28\) (loại)

Với \(y = 0 \Rightarrow {2^x} + {3^0} = 31 \Rightarrow {2^x} = 31 - 1 = 30\) (loại)

Với \(y = 3 \Rightarrow {2^x} + {3^3} = 31 \Rightarrow {2^x} = 31 - 27 = 4 = {2^2}\)\( \Rightarrow x = 2\)

Vậy \(x = 2;y = 3;z = 3\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link