Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi tâm \(O\), tam giác \(ABD\) đều cạnh \(a\sqrt 2 \). \(SA\)

Câu hỏi số 527279:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi tâm \(O\), tam giác \(ABD\) đều cạnh \(a\sqrt 2 \). \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}a\). Hãy tính góc giữa đường thẳng \(SO\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

A. \({45^0}\)

B. \({30^0}\)

C. \({60^0}\)

D. \({90^0}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:527279

Phương pháp giải

+ Xác định giao điểm của đường thẳng \(SO\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

+ Tìm hình chiếu của điểm còn lại thuộc đường thẳng trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \) Hình chiếu \(d\) của đường thẳng \(SO\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)

+ \(\angle \left[ {SO;\left( {ABCD} \right)} \right] = \angle \left( {SO;d} \right)\)

+ Vận dụng kĩ năng tính toán tính được góc cần tìm.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SO \cap \left( {ABCD} \right) = \left\{ O \right\}\\SA \bot \left( {ABCD} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Hình chiếu của \(SO\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AO\)

Khi đó, \(\angle \left[ {SO;\left( {ABCD} \right)} \right] = \angle \left( {SO;AO} \right) = \angle SOA\)

\(ABCD\) là hình thoi có tâm \(O\) nên \(O\) là trung điểm của \(BD\)

Tam giác \(ABD\) đều có \(O\) là trung điểm của \(BD\) nên \(AO\) là đường cao

\( \Rightarrow AO = a\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \Delta SAO\) vuông tại \(A\)

\( \Rightarrow \tan \angle SAO = \dfrac{{SA}}{{AO}} = \dfrac{{3\sqrt 2 a}}{2}:\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} = \sqrt 3 \) (tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow \angle SAO = {60^0}\)

Vậy giữa đường thẳng \(SO\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({60^0}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.