Xét các số thực \(x,\,\,y,\,\,z\) thay đổi sao cho \(3x = {\log _2}\left( {\dfrac{{1 - {{3.2}^{2x + y +

Câu hỏi số 527486:

Vận dụng cao

Xét các số thực \(x,\,\,y,\,\,z\) thay đổi sao cho \(3x = {\log _2}\left( {\dfrac{{1 - {{3.2}^{2x + y + z}}}}{{{8^{y + 1}} + {8^{z - 1}}}}} \right)\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 3x + 2y + z\) thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( { - 3;0} \right)\)

B. \(\left( { - 10; - 4} \right)\)

C. \(\left( { - 4; - 3} \right)\)

D. \(\left( {0;4} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:527486

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản.

Giải chi tiết

Ta có: \(3x = {\log _2}\left( {\dfrac{{1 - {{3.2}^{2x + y + z}}}}{{{8^{y + 1}} + {8^{z - 1}}}}} \right) \Leftrightarrow {2^{3x}} = \dfrac{{1 - {{3.2}^{2x + y + z}}}}{{{8^{y + 1}} + {8^{z - 1}}}} \Leftrightarrow {2^{3x}}\left( {{8^{y + 1}} + {8^{z - 1}}} \right) = 1 - {3.2^{2x + y + z}}\)

\( \Leftrightarrow {8^{x + y + 1}} + {8^{x + z - 1}} = 1 - {3.2^{2x + y + z}} \Leftrightarrow {64.2^{3\left( {x + y} \right)}} + {2^{3\left( {y + z} \right)}} = 8 - {24.2^{2x + y + z}}.\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}{2^{x + y}} = a\\{2^{x + z}} = b\end{array} \right.\,\,\left( {a;\,\,b > 0} \right) \Rightarrow 64{a^3} + {b^3} = 8 - 24ab \Leftrightarrow {\left( {4a} \right)^3} + {b^3} + {\left( { - 2} \right)^3} = 3.\left( {4a} \right).b.\left( { - 2} \right).\)

Ta có bài toán phụ, nếu: \({x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\) thì \(\left[ \begin{array}{l}x = y = z\\x + y + z = 0\end{array} \right..\)

Do đó, ở đây ta có: \(\left[ \begin{array}{l}4a = b = - 2\\4a + b - 2 = 0\end{array} \right..\) Mà \(a;\,\,b > 0\) nên \(4a + b = 2.\)

Lại có: \(4a + b = 2a + 2a + b \ge 3\sqrt[3]{{4{a^2}b}} \Leftrightarrow 2 \ge 3\sqrt[3]{{4{a^2}b}} \Leftrightarrow {a^2}b \le \dfrac{2}{{27}}\)

\( \Rightarrow {2^{2\left( {x + y} \right)}}{.2^{y + z}} \le \dfrac{2}{{27}} \Leftrightarrow {2^{3x + 2y + z}} \le \dfrac{2}{{27}} \Rightarrow 3x + 2y + z \le {\log _2}\dfrac{2}{{27}} \in \left( { - 4; - 3} \right).\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.