Cho tứ diện \(ABCD\) có tam giác \(ABC\) đều cạnh bằng \(a\) và tam giác \(BCD\) cân tại
Cho tứ diện \(ABCD\) có tam giác \(ABC\) đều cạnh bằng \(a\) và tam giác \(BCD\) cân tại \(D\) với \(DC = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2},\,AD > AB.\) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD,\) khi đó cosin góc giữa hai đường thẳng \(AG,CD\) bằng bao nhiêu biết rằng góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) bằng \({30^o}\)
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Xác định giao tuyến của \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\).
Xác định góc giữa \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\), suy ra góc \(\angle AMD = {150^o}\)
Qua \(G\) kẻ song song với \(CD,\) cắt \(BC\) tại điểm \(N\)
Khi đó \(\angle \left( {AG,CD} \right) = \angle AGN\)
Đặt \(\angle AGN = \alpha \). Sử dụng định lí cos trong tam giác \(AGN\) để tính được góc \(\alpha \).
Kẻ \(DM \bot BC\), nối \(A\) với \(M\)
Ta có: \(\left( {ABC} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BC\)
Khi đó \(\left( {\left( {ABC} \right),\left( {BCD} \right)} \right) = {30^o} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\angle AMD = {30^o}\\\angle AMD = {150^o}\end{array} \right.\)
Do \(AD > AB\) nên \(\angle AMD = {150^o}\)
Qua \(G\) kẻ song song với \(CD,\) cắt \(BC\) tại điểm \(N\)
Đặt \(\angle AGN = \alpha \)
Trong \(\Delta MCD\) ta có: \(\dfrac{{GN}}{{CD}} = \dfrac{{MG}}{{MD}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow GN = \dfrac{1}{3}CD = \dfrac{{\sqrt 5 }}{6}\)
\(AN = \sqrt {A{M^2} + M{N^2}} = \sqrt {\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{{36}}} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}\)
\(MG = \dfrac{1}{3}MD = \dfrac{1}{3}.\sqrt {\dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{3}\)
Khi đó \(A{G^2} = A{M^2} + M{G^2} - 2AM.MG.cos{150^o} = \dfrac{{49}}{{36}} \Rightarrow AG = \dfrac{7}{6}\)
\(cos\alpha = \dfrac{{A{G^2} + G{N^2} - A{N^2}}}{{2.AG.GN}} = \dfrac{{\dfrac{{49}}{{36}} + \dfrac{5}{{36}} - \dfrac{7}{9}}}{{2.\dfrac{7}{6}.\dfrac{{\sqrt 5 }}{6}}} = \dfrac{{13\sqrt 5 }}{{35}}\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
