Cho tứ diện \(ABCD\) có tam giác \(ABC\) đều cạnh bằng \(a\) và tam giác \(BCD\) cân tại \(D\) với \(DC = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2},\,AD > AB.\) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD,\) khi đó cosin góc giữa hai đường thẳng \(AG,CD\) bằng bao nhiêu biết rằng góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) bằng \({30^o}\)
Câu 529326: Cho tứ diện \(ABCD\) có tam giác \(ABC\) đều cạnh bằng \(a\) và tam giác \(BCD\) cân tại \(D\) với \(DC = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2},\,AD > AB.\) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD,\) khi đó cosin góc giữa hai đường thẳng \(AG,CD\) bằng bao nhiêu biết rằng góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) bằng \({30^o}\)
A. \(\dfrac{{13\sqrt 5 }}{{35}}\)
B. \( - \dfrac{{13\sqrt 5 }}{{35}}\)
C. \(\dfrac{{\sqrt {65} }}{{13}}\)
D. \( - \dfrac{{\sqrt {65} }}{{13}}\)
Phương pháp giải:
Xác định giao tuyến của \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\).
Xác định góc giữa \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\), suy ra góc \(\angle AMD = {150^o}\)
Qua \(G\) kẻ song song với \(CD,\) cắt \(BC\) tại điểm \(N\)
Khi đó \(\angle \left( {AG,CD} \right) = \angle AGN\)
Đặt \(\angle AGN = \alpha \). Sử dụng định lí cos trong tam giác \(AGN\) để tính được góc \(\alpha \).
-
Đáp án : A(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Kẻ \(DM \bot BC\), nối \(A\) với \(M\)
Ta có: \(\left( {ABC} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BC\)
Khi đó \(\left( {\left( {ABC} \right),\left( {BCD} \right)} \right) = {30^o} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\angle AMD = {30^o}\\\angle AMD = {150^o}\end{array} \right.\)
Do \(AD > AB\) nên \(\angle AMD = {150^o}\)
Qua \(G\) kẻ song song với \(CD,\) cắt \(BC\) tại điểm \(N\)
Đặt \(\angle AGN = \alpha \)
Trong \(\Delta MCD\) ta có: \(\dfrac{{GN}}{{CD}} = \dfrac{{MG}}{{MD}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow GN = \dfrac{1}{3}CD = \dfrac{{\sqrt 5 }}{6}\)
\(AN = \sqrt {A{M^2} + M{N^2}} = \sqrt {\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{{36}}} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}\)
\(MG = \dfrac{1}{3}MD = \dfrac{1}{3}.\sqrt {\dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{3}\)
Khi đó \(A{G^2} = A{M^2} + M{G^2} - 2AM.MG.cos{150^o} = \dfrac{{49}}{{36}} \Rightarrow AG = \dfrac{7}{6}\)
\(cos\alpha = \dfrac{{A{G^2} + G{N^2} - A{N^2}}}{{2.AG.GN}} = \dfrac{{\dfrac{{49}}{{36}} + \dfrac{5}{{36}} - \dfrac{7}{9}}}{{2.\dfrac{7}{6}.\dfrac{{\sqrt 5 }}{6}}} = \dfrac{{13\sqrt 5 }}{{35}}\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |  |  |  |
 |  |  |  |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
