Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Cho tứ diện \(ABCD\) có tam giác \(ABC\) đều cạnh bằng \(a\) và tam giác \(BCD\) cân tại \(D\) với \(DC = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2},\,AD > AB.\) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD,\) khi đó cosin góc giữa hai đường thẳng \(AG,CD\) bằng bao nhiêu biết rằng góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) bằng \({30^o}\)

Câu 529326: Cho tứ diện \(ABCD\) có tam giác \(ABC\) đều cạnh bằng \(a\) và tam giác \(BCD\) cân tại \(D\) với \(DC = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2},\,AD > AB.\) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD,\) khi đó cosin góc giữa hai đường thẳng \(AG,CD\) bằng bao nhiêu biết rằng góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) bằng \({30^o}\)

A. \(\dfrac{{13\sqrt 5 }}{{35}}\)

B. \( - \dfrac{{13\sqrt 5 }}{{35}}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt {65} }}{{13}}\)

D. \( - \dfrac{{\sqrt {65} }}{{13}}\)

Câu hỏi : 529326

Phương pháp giải:

Xác định giao tuyến của \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\).

Xác định góc giữa \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\), suy ra góc \(\angle AMD = {150^o}\)

Qua \(G\) kẻ song song với \(CD,\) cắt \(BC\) tại điểm \(N\)

Khi đó \(\angle \left( {AG,CD} \right) = \angle AGN\)

Đặt \(\angle AGN = \alpha \). Sử dụng định lí cos trong tam giác \(AGN\) để tính được góc \(\alpha \).

  • Đáp án : A
    (0) bình luận (0) lời giải

    Giải chi tiết:

    Kẻ \(DM \bot BC\), nối \(A\) với \(M\)

    Ta có: \(\left( {ABC} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BC\)

    Khi đó \(\left( {\left( {ABC} \right),\left( {BCD} \right)} \right) = {30^o} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\angle AMD = {30^o}\\\angle AMD = {150^o}\end{array} \right.\)

    Do \(AD > AB\) nên \(\angle AMD = {150^o}\)

    Qua \(G\) kẻ song song với \(CD,\) cắt \(BC\) tại điểm \(N\)

    Đặt \(\angle AGN = \alpha \)

    Trong \(\Delta MCD\) ta có: \(\dfrac{{GN}}{{CD}} = \dfrac{{MG}}{{MD}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow GN = \dfrac{1}{3}CD = \dfrac{{\sqrt 5 }}{6}\)

    \(AN = \sqrt {A{M^2} + M{N^2}}  = \sqrt {\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{{36}}}  = \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}\)

    \(MG = \dfrac{1}{3}MD = \dfrac{1}{3}.\sqrt {\dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{4}}  = \dfrac{1}{3}\)

    Khi đó \(A{G^2} = A{M^2} + M{G^2} - 2AM.MG.cos{150^o} = \dfrac{{49}}{{36}} \Rightarrow AG = \dfrac{7}{6}\)

    \(cos\alpha  = \dfrac{{A{G^2} + G{N^2} - A{N^2}}}{{2.AG.GN}} = \dfrac{{\dfrac{{49}}{{36}} + \dfrac{5}{{36}} - \dfrac{7}{9}}}{{2.\dfrac{7}{6}.\dfrac{{\sqrt 5 }}{6}}} = \dfrac{{13\sqrt 5 }}{{35}}\)

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com