Cho x, y, z >0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng:

Câu hỏi số 5301:

Cho x, y, z >0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 4.\left ( \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \right )$

A. Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-copski

B. Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-copski và Co- si

C. Áp dụng bất đẳng thức Co-si

D. Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình điều hòa AM - HM

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5301

Giải chi tiết

Theo bất đẳng thức Co-si với hai số dương a, b ta có:

a + b ≥ $2\sqrt{ab}$ ; $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}}$ => $(a+b)\left ( \frac{1}{a} +\frac{1}{b}\right )$ ≥ 4

=> $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$ .

Áp dụng:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ ; $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{4}{y+z};$ $\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\geq \frac{4}{z+x};$

Cộng các vế tương ứng và rút gọn ta có:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}$ (1)

Lại áp dụng tương tự ta có:

$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}$ $\geq \frac{2}{x+2y+z}+\frac{2}{y+2z+x}+\frac{2}{z+2x+y}$ $=\frac{2}{1+x}$ $+\frac{2}{1+y}$ $+\frac{2}{1+z}$ (2)

(Do x + y + z = 1)

Từ (1) và (2) => đpcm

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.