Với \(a,\,\,b,\,\,c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình sau vô

Câu hỏi số 530861:

Vận dụng

Với \(a,\,\,b,\,\,c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm:

\(x\left( {{c^2}\left( {x - 1} \right) + {a^2} - {b^2}} \right) + {b^2} = 0\) với \(x \in \mathbb{R}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:530861

Phương pháp giải

+ Biến đổi phương trình ban đầu về dạng: \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

+ Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) vô nghiệm khi \(\Delta < 0\)

+ Vận dụng bất đẳng thức tam giác để chứng minh được \(\Delta < 0\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x\left( {{c^2}\left( {x - 1} \right) + {a^2} - {b^2}} \right) + {b^2} = 0\\ \Leftrightarrow {c^2}{x^2} - {c^2}x + \left( {{a^2} - {b^2}} \right)x + {b^2} = 0\\ \Leftrightarrow {c^2}{x^2} + \left( {{a^2} - {b^2} - {c^2}} \right)x + {b^2} = 0\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {{a^2} - {b^2} - {c^2}} \right)^2} - 4{b^2}.{c^2}\\\,\,\,\, = {\left( {{a^2} - {b^2} - {c^2}} \right)^2} - {\left( {2bc} \right)^2}\\\,\,\,\, = \left( {{a^2} - {b^2} - {c^2} - 2bc} \right)\left( {{a^2} - {b^2} - {c^2} + 2bc} \right)\\\,\,\,\, = \left[ {{a^2} - {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right].\left[ {{a^2} - {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right]\\\,\,\,\, = \left( {a + b + c} \right)\left( {a - b - c} \right)\left( {a + b - c} \right)\left( {a - b + c} \right)\end{array}\)

Do \(a,\,\,b,\,\,c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác nên áp dụng BĐT tam giác ta có:

\(\begin{array}{l}a,\,\,b,\,\,c > 0 \Rightarrow a + b + c > 0\\a + b > c \Rightarrow a + b - c > 0\\a + c > b \Rightarrow a - b + c > 0\\b + c > a \Rightarrow a - b - c < 0\end{array}\)

Do đó \(\Delta < 0 \Rightarrow \) phương trình đã cho vô nghiệm.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link