Cho \(x\) là số thực dương thỏa mãn điều kiện \({x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 7\). Tìm giá trị của

Câu hỏi số 530860:

Vận dụng

Cho \(x\) là số thực dương thỏa mãn điều kiện \({x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 7\). Tìm giá trị của biểu thức \(A = {x^7} + \dfrac{1}{{{x^7}}}\).

A. \({x^7} + \dfrac{1}{{{x^7}}} = 460\)

B. \({x^7} + \dfrac{1}{{{x^7}}} = 480\)

C. \({x^7} + \dfrac{1}{{{x^7}}} = 500\)

D. \({x^7} + \dfrac{1}{{{x^7}}} = 510\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:530860

Phương pháp giải

+ Từ giả thiết của bài toán: \({x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 7\), tính được các tổng: \(x + \dfrac{1}{x}\); \({x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}}\);\({x^4} + \dfrac{1}{{{x^4}}}\); \({x^6} + \dfrac{1}{{{x^6}}}\)

+ Ta xét: \(\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)\left( {{x^4} + \dfrac{1}{{{x^4}}}} \right)\) từ đó tính được tổng: \({x^5} + \dfrac{1}{{{x^5}}}\)

+ Ta xét: \(\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)\left( {{x^6} + \dfrac{1}{{{x^6}}}} \right)\) từ đó tính được tổng: \({x^7} + \dfrac{1}{{{x^7}}}\)

Giải chi tiết

Ta có:

\({x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 7 \Rightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} - 2 = 7 \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow x + \dfrac{1}{x} = 3\) (do \(x > 0\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^3} = 27 \Leftrightarrow {x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}} + 3\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) = 27\\ \Leftrightarrow {x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}} + 3.3 = 27 \Leftrightarrow {x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}} = 18\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^4} + \dfrac{1}{{{x^4}}} = {\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} - 2 = {7^2} - 2 = 47\\{x^6} + \dfrac{1}{{{x^6}}} = {\left( {{x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^2} - 2 = {18^2} - 2 = 322\end{array} \right.\end{array}\)

Xét

\(\begin{array}{l}\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)\left( {{x^4} + \dfrac{1}{{{x^4}}}} \right) = {x^5} + \dfrac{1}{{{x^5}}} + {x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}} = 3.47 = 141\\ \Rightarrow {x^5} + \dfrac{1}{{{x^5}}} + 18 = 141 \Leftrightarrow {x^5} + \dfrac{1}{{{x^5}}} = 123\end{array}\)

Xét

\(\begin{array}{l}\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)\left( {{x^6} + \dfrac{1}{{{x^6}}}} \right) = {x^7} + \dfrac{1}{{{x^7}}} + {x^5} + \dfrac{1}{{{x^5}}} = 3.322 = 966\\ \Rightarrow {x^7} + \dfrac{1}{{{x^7}}} + 123 = 966\\ \Rightarrow {x^7} + \dfrac{1}{{{x^7}}} = 510\end{array}\)

Vậy \({x^7} + \dfrac{1}{{{x^7}}} = 510\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link