Cho \(x\) là số thực dương thỏa mãn điều kiện \({x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 7\). Tìm giá trị của

Câu hỏi số 530860:

Vận dụng

Cho \(x\) là số thực dương thỏa mãn điều kiện \({x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 7\). Tìm giá trị của biểu thức \(A = {x^7} + \dfrac{1}{{{x^7}}}\).

A. \({x^7} + \dfrac{1}{{{x^7}}} = 460\)

B. \({x^7} + \dfrac{1}{{{x^7}}} = 480\)

C. \({x^7} + \dfrac{1}{{{x^7}}} = 500\)

D. \({x^7} + \dfrac{1}{{{x^7}}} = 510\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:530860

Phương pháp giải

+ Từ giả thiết của bài toán: \({x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 7\), tính được các tổng: \(x + \dfrac{1}{x}\); \({x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}}\);\({x^4} + \dfrac{1}{{{x^4}}}\); \({x^6} + \dfrac{1}{{{x^6}}}\)

+ Ta xét: \(\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)\left( {{x^4} + \dfrac{1}{{{x^4}}}} \right)\) từ đó tính được tổng: \({x^5} + \dfrac{1}{{{x^5}}}\)

+ Ta xét: \(\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)\left( {{x^6} + \dfrac{1}{{{x^6}}}} \right)\) từ đó tính được tổng: \({x^7} + \dfrac{1}{{{x^7}}}\)

Giải chi tiết

Ta có:

\({x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 7 \Rightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} - 2 = 7 \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow x + \dfrac{1}{x} = 3\) (do \(x > 0\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^3} = 27 \Leftrightarrow {x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}} + 3\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) = 27\\ \Leftrightarrow {x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}} + 3.3 = 27 \Leftrightarrow {x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}} = 18\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^4} + \dfrac{1}{{{x^4}}} = {\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} - 2 = {7^2} - 2 = 47\\{x^6} + \dfrac{1}{{{x^6}}} = {\left( {{x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^2} - 2 = {18^2} - 2 = 322\end{array} \right.\end{array}\)

Xét

\(\begin{array}{l}\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)\left( {{x^4} + \dfrac{1}{{{x^4}}}} \right) = {x^5} + \dfrac{1}{{{x^5}}} + {x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}} = 3.47 = 141\\ \Rightarrow {x^5} + \dfrac{1}{{{x^5}}} + 18 = 141 \Leftrightarrow {x^5} + \dfrac{1}{{{x^5}}} = 123\end{array}\)

Xét

\(\begin{array}{l}\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)\left( {{x^6} + \dfrac{1}{{{x^6}}}} \right) = {x^7} + \dfrac{1}{{{x^7}}} + {x^5} + \dfrac{1}{{{x^5}}} = 3.322 = 966\\ \Rightarrow {x^7} + \dfrac{1}{{{x^7}}} + 123 = 966\\ \Rightarrow {x^7} + \dfrac{1}{{{x^7}}} = 510\end{array}\)

Vậy \({x^7} + \dfrac{1}{{{x^7}}} = 510\).

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link