Cho \(z \in \mathbb{C}\), thỏa mãn \(\left| {\overline z + 2i} \right| \le \left| {z - 4i} \right|\) và

Câu hỏi số 531431:

Vận dụng

Cho \(z \in \mathbb{C}\), thỏa mãn \(\left| {\overline z + 2i} \right| \le \left| {z - 4i} \right|\) và \(\left( {z - 3 - 3i} \right)\left( {\overline z - 3 + 3i} \right) = 1.\) Giá trị lớn nhất của biểu thức \(\left| {z - 2} \right|\) là

A. \(\sqrt {13} + 1\)

B. \(\sqrt {10} = 1\)

C. \(\sqrt {13} \)

D. \(\)\(\sqrt {10} \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:531431

Phương pháp giải

Đặt \(w = z - 2 \Rightarrow z = w + 2\) với \(w = x + yi\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)

Từ \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 2i} \right| \le \left| {z - 4i} \right|\\\left| {z - 3 - 3i} \right| = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {w + 2 - 2i} \right| \le \left| {w + 2 - 4i} \right|\\\left| {w - 1 - 3i} \right| = 1\end{array} \right.\) ta lập hệ phương trình.

Sử dụng phương pháp hình học để tìm GTLN của \(P = \left| w \right| = OM\).

Giải chi tiết

Đặt \(w = z - 2 \Rightarrow z = w + 2\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 2i} \right| \le \left| {z - 4i} \right|\\\left| {z - 3 - 3i} \right| = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {w + 2 - 2i} \right| \le \left| {w + 2 - 4i} \right|\\\left| {w - 1 - 3i} \right| = 1\end{array} \right.\)

Đặt \(w = x + yi\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)

Ta được hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x + 2 + \left( {y - 2} \right)i} \right| \le \left| {x + 2 + \left( {y - 4} \right)i} \right|\\\left| {x - 1 + \left( {y - 3} \right)i} \right| = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \le 3\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right.\)

Gọi \(M\) là điểm biểu diễn của số phức \(w\) thì tập hợp \(M\) là nửa đường tròn tâm \(I\left( {1;3} \right)\) bán kính \(1\)

\(P = \left| w \right| = OM\). \(P\) đạt GTLN khi \(OM\) lớn nhất.

Dựa vào hình vẽ ta suy ra \(OM\) lớn nhất khi \(M\left( {2;3} \right)\).

Vậy \({P_{max}} = \sqrt {13} \)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.