Cho các số dương \(x,y\) thỏa mãn \({2^{{x^3} - y + 1}} = \dfrac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}.\) Tìm giá

Câu hỏi số 531432:

Vận dụng cao

Cho các số dương \(x,y\) thỏa mãn \({2^{{x^3} - y + 1}} = \dfrac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{7}{y} + \dfrac{{{x^3}}}{7}\)

A. \(\dfrac{{33}}{7}\)

B. \(\dfrac{{12}}{7}\)

C. \(\dfrac{{35}}{{14}}\)

D. \(\)\(\dfrac{8}{7}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:531432

Phương pháp giải

Lấy logarit cơ số \(2\) hai vế.

Biến đổi để sử dụng phương pháp hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{2^{{x^3} - y + 1}} = \dfrac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}{2^{{x^3} - y + 1}} = {\log _2}\dfrac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}\\ \Leftrightarrow {x^3} - y + 1 = {\log _2}\left( {2x + y} \right) - {\log _2}\left( {2{x^3} + 4x + 4} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {2\left( {{x^3} + 2x + 2} \right)} \right] + {x^3} + 1 = {\log _2}\left( {2x + y} \right) + y\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^3} + 2x + 2} \right) + {x^3} + 2 = {\log _2}\left( {2x + y} \right) + 2x + y\end{array}\)

Xét \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t \Rightarrow f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\)

Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Khi đó: \({x^3} + 2x + 2 = 2x + y \Leftrightarrow {x^3} + 2 = y\)

Ta có: \(P = \dfrac{7}{y} + \dfrac{{{x^3}}}{7} = \dfrac{7}{{{x^3} + 2}} + \dfrac{{{x^3}}}{7} = \dfrac{7}{{{x^3} + 2}} + \dfrac{{{x^3} + 2}}{7} - \dfrac{2}{7}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \(P \ge 2 - \dfrac{2}{7} \Rightarrow P \ge \dfrac{{12}}{7}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.