Cho phương trình \({\log _3}\left( {4{x^2} - 4x + 3} \right) + {2020^{4{x^2} - 4x - 2\left| y \right| + 1}}.{\log

Câu hỏi số 531437:

Vận dụng cao

Cho phương trình \({\log _3}\left( {4{x^2} - 4x + 3} \right) + {2020^{4{x^2} - 4x - 2\left| y \right| + 1}}.{\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {2\left| y \right| + 2} \right) = 0\). Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn phương trình trên, biết rằng \(y \in \left( { - 5;5} \right)\)

A. \(8\)

B. \(5\)

C. \(0\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:531437

Phương pháp giải

Sử dụng linh hoạt các kiến thức về chương 1: Hàm số và ứng dụng của đạo hàm và chương 2: Hàm số mũ. Hàm số lũy thừa. Hàm số logarit.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {4{x^2} - 4x + 3} \right) + {2020^{4{x^2} - 4x - 2\left| y \right| + 1}}.{\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {2\left| y \right| + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {4{x^2} - 4x + 3} \right) - \dfrac{{{{2020}^{4{x^2} - 4x + 3}}}}{{{{2020}^{2\left| y \right| + 2}}}}.{\log _3}\left( {2\left| y \right| + 2} \right) = 0\end{array}\)

Xét \(f\left( t \right) = \dfrac{{{{\log }_3}t}}{{{{2020}^t}}}\) có \(t \ge 2\)

\(f'\left( t \right) = \dfrac{{\dfrac{1}{{t\ln 3}}{{.2020}^t} - {{\log }_3}t{{.2020}^t}.\ln 2020}}{{{{2020}^{2t}}}}\)\( = \dfrac{{\dfrac{1}{{t\ln 3}} - {{\log }_3}t.\ln 2020}}{{{{2020}^t}}}\)

Xét \(g\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 3}} - {\log _3}t.\ln 2020\)

\(g'\left( t \right) = - \dfrac{1}{{\left( {\ln 3} \right).{t^2}}} - \dfrac{{\ln 2020}}{{t.\ln 3}} < 0\,\,\,\forall t > 0\)

Suy ra \(g\left( t \right) \le g\left( 2 \right) = \dfrac{1}{{2\ln 3}} - {\log _3}2.\ln 2020 \Rightarrow g\left( t \right) < 0 \Rightarrow f'\left( t \right) < 0\,\,\forall t \ge 2\)

Khu đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 3 = 2\left| y \right| + 2\)

Do \(y \in \left( { - 5;5} \right) \Rightarrow \left| y \right| < 5\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left| y \right| + 2 < 2.5 + 2\\ \Rightarrow 4{x^2} - 4x + 3 < 12\\ \Rightarrow 4{x^2} - 4x - 9 < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \sqrt {10} }}{2} < x < \dfrac{{1 + \sqrt {10} }}{2}\end{array}\)

Vì \(x\) nguyên nên \(x \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\)

Với \(x = - 1 \Rightarrow 2\left| y \right| + 2 = 11 \Leftrightarrow \left| y \right| = \dfrac{9}{2}\,\left( L \right)\)

\(x = 0 \Rightarrow 2\left| y \right| + 2 = 3 \Rightarrow \left| y \right| = \dfrac{1}{2}\,\left( L \right)\)

\(x = 1 \Rightarrow 2\left| y \right| + 2 = 3 \Leftrightarrow \left| y \right| = - \dfrac{1}{2}\,\,\left( L \right)\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.