Cho hàm số \(y = \left| {{x^2} - 3x - \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} + m} \right|\)

Câu hỏi số 531436:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = \left| {{x^2} - 3x - \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} + m} \right|\) (với \(m\) là tham số thực). Tổng tất cả các giá trị của \(m\) đẻ \(\min \,y + \max y = 2021\) là:

A. \(\dfrac{1}{2}\)

B. \(\dfrac{3}{4}\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:531436

Phương pháp giải

Đặt \(\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} = t\,\left( {t \ge 0} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = - {t^2} - t + 4 + m\)

Vẽ bảng biến thiên và lập luận dựa vào điều kiện đề bài \(max + \min = 2021\)

Giải chi tiết

Đặt \(\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} = t\,\left( {t \ge 0} \right)\)

Ta có: \({t^2} = - {x^2} + 3x + 4 \le \dfrac{{25}}{4}\, \Rightarrow t \le \dfrac{5}{2}\)

Suy ra \(y = \left| {4 - {t^2} - t + m} \right|\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = - {t^2} - t + 4 + m\)

\(f'\left( t \right) = - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{1}{2}\)

Bảng biến thiên:

Nếu \(4 + m < 0 \Rightarrow f\left( x \right) < 0\,\forall x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y = \left| {f\left( x \right)} \right| = - f\left( x \right)\\ \Rightarrow - f\left( 0 \right) \le y \le f\left( {\dfrac{5}{2}} \right)\\ \Rightarrow - m - 4 \le y \le - m + \dfrac{{19}}{4}\end{array}\)

Do \(max + \min = 2021 \Leftrightarrow - m - 4 + \left( { - m} \right) + \dfrac{{19}}{4} = 2021 \Leftrightarrow m = - \dfrac{{8081}}{8}\)

Nếu \( - \dfrac{{19}}{4} + m > 0 \Rightarrow f\left( x \right) > 0\forall x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y = \left| {f\left( x \right)} \right| = f\left( x \right)\\ \Rightarrow - \dfrac{{19}}{4} + m \le y \le 4 + m\end{array}\)

Do \(\min \, + \,max = 2021 \Rightarrow - \dfrac{{19}}{4} + m + 4 + m = 2021 \Rightarrow m = \dfrac{{8087}}{8}\)

Nếu \( - \dfrac{{19}}{4} + m \le 0 \le 4 + m\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\min = 0\\max = 4 + m\,\, \vee \,max = \dfrac{{19}}{4} - m\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 + 4 + m = 2021\\0 + \dfrac{{19}}{4} - m = 2021\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2017\,\left( L \right)\\m = - \dfrac{{8065}}{4}\,\left( L \right)\end{array} \right.\)

Vậy tổng các giá trị của \(m\) là \( - \dfrac{{8081}}{8} + \dfrac{{8087}}{8} = \dfrac{3}{4}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.