Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm \(O.\) Kẻ các đường cao

Câu hỏi số 531727:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm \(O.\) Kẻ các đường cao \(BH,\,\,CK\) (\(H\) nằm trên \(AC,\) \(K\) nằm trên \(AB)\).

1. Chứng minh tứ giác \(BCHK\) nội tiếp và \(AH.AC = AK.AB\)

2. Chứng minh \(OA \bot HK\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:531727

Phương pháp giải

1) + Vận dụng dấu hiệu nhận biết: tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp.

+ Chứng minh được: \(\angle AHK = \angle ABC\); \(\Delta AHK \sim \Delta ABC\,\,\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow AH.AC = AK.AB\,\,\left( {dpcm} \right)\)

2) Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) của \(\left( O \right)\).

Chứng minh được \(\angle xAC = \angle AHK\)\( \Rightarrow Ax//HK\)

Sử dụng quan hệ từ vuông góc đến song song, suy ra \(OA \bot HK\).

Giải chi tiết

1) Vì \(BH,\,\,CK\) là các đường cao của \(\Delta ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\CK \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow \angle BHC = \angle BKC = {90^0}\).

Xét tứ giác \(BCHK\) có \(\angle BHC = \angle BKC = {90^0}\) nên \(BCHK\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \angle AHK = \angle ABC\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Xét \(\Delta AHK\) và \(\Delta ABC\) có: \(\angle BAC\) chung; \(\angle AHK = \angle ABC\,\,\left( {cmt} \right)\).

\( \Rightarrow \Delta AHK \sim \Delta ABC\,\,\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AB}} = \dfrac{{AK}}{{AC}}\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow AH.AC = AK.AB\,\,\left( {dpcm} \right)\).

2) Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) của \(\left( O \right)\).

Ta có \(\angle xAC = \angle ABC\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\)).

Mà \(\angle AHK = \angle ABC\,\,\left( {cmt} \right)\) \( \Rightarrow \angle xAC = \angle AHK\).

Lại có 2 góc này nằm ở vị trí 2 góc so le trong nên \(Ax//HK\).

Vì \(Ax\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(A\) nên \(OA \bot Ax\).

Vậy \(OA \bot HK\) (từ vuông góc đến song song) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link