Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Các đường cao

Câu hỏi số 531814:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\).

a) Chứng minh các tứ giác \(AEHF\), \(BFEC\) nội tiếp đường tròn.

b) Đường thẳng \(AO\) cắt đường tròn tâm \(O\) tại điểm \(K\) khác điểm \(A\). Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường thẳng \(HK\) và \(BC\). Chứng minh \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\).

c) Tính \(\dfrac{{AH}}{{AD}} + \dfrac{{BH}}{{BE}} + \dfrac{{CH}}{{CF}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:531814

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết:

+ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

+ Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhình một cạnh dưới các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(BC\) và \(HK\) là hai đường chéo của hình bình hành \(BHCK\)

Mà \(I = HK \cap BC\,\,\left( {gt} \right)\)

Vậy \(I\) cũng là trung điểm của \(BC\) (đpcm).

c) Chứng minh \(\dfrac{{HD}}{{AD}} = \dfrac{{{S_{\Delta HBC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}};\dfrac{{HE}}{{BE}} = \dfrac{{{S_{\Delta HAC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}},\,\,\dfrac{{HF}}{{CF}} = \dfrac{{{S_{\Delta HAB}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}\)

Thay vào biểu thức cần tính.

Giải chi tiết

a) Xét tứ giác \(AEHF\) có \(\angle AEH + \angle AFH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) nên \(AEHF\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).

Xét tứ giác \(BFEC\) có: \(\angle BFC = \angle BEC + {90^0}\) \( \Rightarrow BFEC\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhình một cạnh dưới các góc bằng nhau).

b) Ta có \(\angle ABK = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AB \bot BK\).

Mà \(CH \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow CH//BK\) (từ vuông góc đến song song)

Chứng minh tương tự ta có: \(BH//CK\).

\( \Rightarrow BHCK\) là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối song song).

\( \Rightarrow \) Hai đường chéo \(BC\) và \(HK\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà \(I = HK \cap BC\,\,\left( {gt} \right)\).

Vậy \(I\) cũng là trung điểm của \(BC\) (đpcm).

c) Đặt \(P = \dfrac{{AH}}{{AD}} + \dfrac{{BH}}{{BE}} + \dfrac{{CH}}{{CF}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = 1 - \dfrac{{HD}}{{AD}} + 1 - \dfrac{{HE}}{{BE}} + 1 - \dfrac{{HF}}{{CF}}\\ \Rightarrow P = 3 - \left( {\dfrac{{HD}}{{AD}} + \dfrac{{HE}}{{BE}} + \dfrac{{HF}}{{CF}}} \right)\end{array}\)

Ta có \(\dfrac{{HD}}{{AD}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}HD.BC}}{{\dfrac{1}{2}AD.BC}} = \dfrac{{{S_{\Delta HBC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\dfrac{{HE}}{{BE}} = \dfrac{{{S_{\Delta HAC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}},\,\,\dfrac{{HF}}{{CF}} = \dfrac{{{S_{\Delta HAB}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{HD}}{{AD}} + \dfrac{{HE}}{{BE}} + \dfrac{{HF}}{{CF}} = \dfrac{{{S_{\Delta HBC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta HAC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta HAB}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}\\ = \dfrac{{{S_{\Delta HBC}} + {S_{\Delta HAC}} + {S_{\Delta HAB}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = 1\end{array}\)

Vậy \(P = \dfrac{{AH}}{{AD}} + \dfrac{{BH}}{{BE}} + \dfrac{{CH}}{{CF}} = 3 - 1 = 2\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link