Cho parabol \(\left( P \right)\)\(y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right)\): \(y = x - m + 3\)( với

Câu hỏi số 532083:

Vận dụng

Cho parabol \(\left( P \right)\)\(y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right)\): \(y = x - m + 3\)( với \(m\)là tham số).

a) Vẽ parabol \(\left( P \right)\).

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thỏa mãn \(\sqrt {{y_1}} + \sqrt {{y_2}} = 1.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:532083

Phương pháp giải

a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\)

+ Nhận xét về hệ số \(a\) và sự biến thiên của hàm số

+ Lập bảng giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\)

+ Xác định được các điểm mà đồ thị đi qua, vẽ đồ thị.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) \(\left( 1 \right)\)

Để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).

\( \Leftrightarrow \Delta > 0\)

Xác định tung độ của \(A,B\) theo \({x_1};{x_2}\)

Áp dụng hệ thức Viète, tính được \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\) theo \(m\)

Thay vào \(\sqrt {{y_1}} + \sqrt {{y_2}} = 1\), tìm được \(m\).

Giải chi tiết

a) Parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) có bề lõm hướng lên và nhận \(Oy\) làm trục đối xứng.

Ta có bảng giá trị sau:

\( \Rightarrow \) Parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) đi qua các điểm \(\left( { - 2;4} \right)\), \(\left( { - 1;1} \right)\), \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {1;1} \right)\), \(\left( {2;4} \right)\).

Đồ thị Parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\):

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) ta được:

\({x^2} = x - m + 3 \Leftrightarrow {x^2} - x + m - 3 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

Để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).

\( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow 1 - 4\left( {m - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow 1 - 4m + 12 > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{{13}}{4}\,\,\,\left( * \right)\)

Khi đó, áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.\)

Ta có \(A,\,\,B \in \left( P \right)\) nên \(A\left( {{x_1};{x_1}^2} \right),B\left( {{x_2};{x_2}^2} \right)\).

Khi đó ta có: \(\sqrt {{y_1}} + \sqrt {{y_2}} = 1\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {{x_1}^2} {\rm{ \;}} + \sqrt {{x_2}^2} {\rm{ \;}} = 1}\\{\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 1}\\{{{\left( {\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right|} \right)}^2} = 1}\\{{x_1}^2 + {x_2}^2 + 2\left| {{x_1}{x_2}} \right| = 1}\end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} + 2\left| {{x_1}{x_2}} \right| = 1}\\{1 - 2\left( {m - 3} \right) + 2\left| {m - 3} \right| = 1}\\{\left| {m - 3} \right| = m - 3}\\{m - 3 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 3}\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện (*) ta được \(3 \le m < \dfrac{{13}}{4}\).

Vậy \(3 \le m < \dfrac{{13}}{4}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link