Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(A\)nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(A\)nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) của đường tròn \(\left( O \right)\) (\(B,\,\,C\) là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua \(A\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm phân biệt \(D,K\) (\(D\) nằm giữa \(A,K\) và \(B,D\) nằm cùng phía đối với đường thẳng \(OA\)). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AO\) và \(BC\).
a) Chứng minh \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(AD.AK = A{B^2}\) và \(AD.AK + OH.OA = O{A^2}\)
c) Chứng minh \(\angle OAD = \angle ODH\)
d) Đường thẳng qua \(D\) và vuông góc với \(OB\) cắt \(BC\) tại \(M\). Gọi \(P\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh ba điểm \(K,M,\,\,P\) thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: \(\Delta ABD \sim \Delta AKB\,\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow AD.AK = A{B^2}\) (1)
Chứng minh: \(\left\{ \begin{array}{l}O{B^2} = OH.OA\\O{A^2} = O{B^2} + A{B^2}\end{array} \right.\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(AD.AK + OH.OA = A{B^2} + O{B^2} = O{A^2}\)(đpcm).
c) Chứng minh: \(\Delta OHD \sim \Delta ODA\,\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle OAD = \angle ODH\)
d) Gọi \(J\) là giao điểm của \(AK\) và \(BC\)
Gọi \(P\) là giao điểm của \(KM\) và \(AB\). Ta sẽ chứng minh \(P\) là trung điểm của \(AB\).
Kẻ \(ON \bot DK\,\,\left( {N \in DK} \right) \Rightarrow N\) là trung điểm của \(DK\).
Chứng minh: ;
\( \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{DN}} = \dfrac{{AJ}}{{EJ}}\)
Áp dụng định lý Ta – lét, tìm được các tỉ lệ của độ dài đoạn thẳng.
a) Ta có: \(AB,AC\) là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OB\\AC \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow \angle ABO = \angle ACO = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle ABO + \angle ACO = {180^0}\)\( \Rightarrow ABOC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb) (đpcm).
b) Ta có: \(\angle ABD = \angle BKD\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\)).
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AKB\) ta có:
\(\angle BAK\) chung;
\(\angle ABD = \angle BKD\) (cmt);
\( \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta AKB\,\,\,\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{AK}}\) (cặp cạnh tương ứng).
\( \Rightarrow AD.AK = A{B^2}\) (1)
Ta có: \(OB = OC\,\,\left( { = R} \right)\) nên \(O\) thuộc trung trực của \(BC\).
\(AB = AC\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên \(A\) thuộc trung trực của \(BC\).
\( \Rightarrow OA\) là trung trực của \(BC\) \( \Rightarrow OA \bot BC\) tại \(H\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AOB\) vuông tại \(B\), đường cao \(BH\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}O{B^2} = OH.OA\\O{A^2} = O{B^2} + A{B^2}\end{array} \right.\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(AD.AK + OH.OA = A{B^2} + O{B^2} = O{A^2}\)(đpcm).
c) Ta có \(O{B^2} = OH.OA\) (cmt). Mà \(OB = OD \Rightarrow O{D^2} = OH.OA\) \( \Rightarrow \dfrac{{OH}}{{OD}} = \dfrac{{OD}}{{OA}}\).
Xét \(\Delta OHD\) và \(\Delta ODA\) ta có:
\(\angle DOA\) chung;
\(\dfrac{{OH}}{{OD}} = \dfrac{{OD}}{{OA}}\) (cmt);
\( \Rightarrow \Delta OHD \sim \Delta ODA\,\,\,\left( {c.g.c} \right)\)\( \Rightarrow \)\(\angle OAD = \angle ODH\)(2 góc tương ứng) (đpcm)
d) Gọi \(J\) là giao điểm của \(AK\) và \(BC\)
Gọi \(P\) là giao điểm của \(KM\) và \(AB\). Ta sẽ chứng minh \(P\) là trung điểm của \(AB\).
Kẻ \(ON \bot DK\,\,\left( {N \in DK} \right) \Rightarrow N\) là trung điểm của \(DK\).
Lại có \(\angle ANO = {90^0}\) nên \(N\) thuộc đường tròn đường kính \(OA\) hay \(O,\,\,N,\,\,B,\,\,A,\,\,C\) cùng thuộc 1 đường tròn.
Xét tam giác \(ABJ\) và \(ANB\) ta có:
\(\angle BAN\) chung
\(\angle ABJ = \angle BNA\,\,\left( { = \angle ACB} \right)\) (các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau).
\( \Rightarrow \Delta ABJ\) đồng dạng với \(\Delta ANB\) (g.g) \( \Rightarrow \dfrac{{AJ}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{AN}}\) (cặp cạnh tương ứng) \( \Rightarrow A{B^2} = AJ.AN\).
Tương tự ta có: \(\Delta ABD\) đồng dạng với \(\Delta AKB\) (g.g) \( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AK}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = AK.AD\)
\( \Rightarrow AJ.AN = AK.AD \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{AD}} = \dfrac{{AK}}{{AJ}} = \dfrac{{AK - AN}}{{AJ - AD}} = \dfrac{{KN}}{{DJ}} = \dfrac{{DN}}{{EJ}}\) (Vì \(N\) là trung điểm của \(DK\)) \( \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{DN}} = \dfrac{{AJ}}{{EJ}}\).
Ta lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}DM \bot OB\,\,\left( {gt} \right)\\AB \bot OB\,\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow DM//AB \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{AB}}{{DM}} = \dfrac{{AJ}}{{DJ}}\\\dfrac{{AP}}{{DM}} = \dfrac{{AK}}{{DK}}\end{array} \right.\) (Định lí Ta-lét)
\( \Rightarrow \dfrac{{AP}}{{DM}} = \dfrac{{AK}}{{2DN}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{AJ}}{{EJ}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{AB}}{{DM}} \Rightarrow AP = \dfrac{{AB}}{2}\).
Vậy \(P\) là trung điểm của \(AB\) (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
