Cho hình chữ nhật \(ABCD.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC\) và \(CD.\)
Cho hình chữ nhật \(ABCD.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC\) và \(CD.\) Gọi \(E\) là giao điểm của \(BN\) với \(AM\) và \(F\) là giao điểm của \(BN\) với \(DM;\,\,DM\) cắt \(AN\) tại\(K.\) Chứng minh điểm \(A\) nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác \(EFK.\)
Quảng cáo
+ Ta sẽ chứng minh: \(\angle MAN = {90^0} - \angle NAD - \angle MDC\,\,\,\,\left( 1 \right)\) và \(\angle DFN = {90^0} - \angle DAN - \angle FDN\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\angle MAN = \angle DFN\)
+ Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.
\( \Rightarrow A\) là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp \(\Delta EFK.\)
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle B = \angle C = {90^0}\\BM = MC\,\,\left( {gt} \right)\\DC = AB\,\,\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABM = \Delta DCM\,\,\left( {2cgv} \right).\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle BAM = \angle MDC\) (hai góc tương ứng bằng nhau)
Hay \(\angle MAB = \angle MDC.\)
Ta có: \(\angle MAN = {90^0} - \angle NAD - \angle MAB\) \( \Rightarrow \angle MAN = {90^0} - \angle NAD - \angle MDC\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Lại có: \(\angle DFN = \angle FNC - \angle FDN\) (góc ngoài của \(\Delta DN\))
Xét \(\Delta AND\) và \(\Delta BNC\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle D = \angle C = {90^0}\\AD = BC\,\,\left( {gt} \right)\\DN = NC\,\,\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ADN = \Delta BCN\,\,\left( {2cgv} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle BNC = \angle AND\) (hai góc tương ứng)
Hay \(\angle FNC = \angle AND\)
Mà \(\angle AND = {90^0} - \angle DAN\) (hai góc phụ nhau)
\( \Rightarrow \angle DFN = {90^0} - \angle DAN - \angle FDN\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\angle MAN = \angle DFN\)
Mặt khác: \(\angle DFN + \angle KFN = {180^0}\)
\( \Rightarrow \angle KAE + \angle KFE = {180^0}\)
\( \Rightarrow AEFK\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
\( \Rightarrow A\) là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp \(\Delta EFK.\) (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
