Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\). Vẽ tia tiếp tuyến \(Ax\) cùng phía với

Câu hỏi số 532219:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\). Vẽ tia tiếp tuyến \(Ax\) cùng phía với nửa đường tròn đường kính \(AB\). Lấy một điểm \(M\) trên tia \(Ax\,\,\left( {M \ne A} \right)\). Vẽ tiếp tuyến \(MC\) với nửa đường tròn \(\left( O \right)\) (\(C\) là tiếp điểm). Vẽ \(AC\) cắt \(OM\) tại \(E\), vẽ \(MB\) cắt nửa đường tròn tại \(D\,\,\left( {D \ne B} \right)\).

a) Chứng minh: Tứ giác \(AMDE\) nội tiếp trong một đường tròn.

b) Chứng minh \(M{A^2} = MD.MB\).

c) Vẽ \(CH\) vuông góc với \(AB\,\,\left( {H \in AB} \right)\). Chứng minh rằng \(MB\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(CH\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:532219

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhình một cạnh dưới các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp.

b) Ta sẽ chứng minh: \( \Rightarrow M{A^2} = MD.MB\)

c) Gọi \(MB \cap CH = \left\{ N \right\}\).

Ta sẽ chứng minh: \(\angle DEC = \angle DAB\) (1) và \(\angle DNC = \angle DAB\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle DEC = \angle DNC\) \( \Rightarrow DENC\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

Ta sẽ chứng minh: \(EN//AH\)

\( \Rightarrow N\) là trung điểm của \(CH\) (định lí đường trung bình trong tam giác \(ACH\)).

Vậy \(MB\) đi qua \(N\) là trung điểm của \(CH\) (đpcm).

Giải chi tiết

a) Ta có: \(OA = OC \Rightarrow O\) thuộc trung trực của \(AC\).

\(MA = MC\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow M\) thuộc trung trực của \(AC\).

\( \Rightarrow OM\) là trung trực của \(AC \Rightarrow OM \bot AC\) tại \(E\) \( \Rightarrow \angle AEM = {90^0}\).

Ta có \(\angle ADB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle ADM = {90^0}\).

Xét tứ giác \(AMDE\) có \(\angle AEM = \angle ADM = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\) \( \Rightarrow AMDE\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(AM\) (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn \(AM\) dưới một góc \({90^0}\)).

b) Xét \(\Delta MAD\) và \(\Delta MBA\) có:

\(\begin{array}{l}\angle AMB\,\,chung;\\\angle MDA = \angle MAB = {90^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{MB}}{{MA}}\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow M{A^2} = MD.MB\).

c) Gọi \(MB \cap CH = \left\{ N \right\}\).

Vì \(AEDM\) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\angle DEC = \angle AMD\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Mà \(\angle AMD = \angle DAB\) (cùng phụ với \(\angle MAD\)) nên \(\angle DEC = \angle DAB\) (1).

Ta có \(\angle DNC = \angle BNH\) (đối đỉnh), mà \(\left\{ \begin{array}{l}\angle BNH + \angle NBH = {90^0}\\\angle DAB + \angle NBH = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \angle BNH = \angle DAB\) \( \Rightarrow \angle DNC = \angle DAB\) (2).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle DEC = \angle DNC\).

\( \Rightarrow DENC\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \angle DNE = \angle DCE\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(DE\)).

Mà \(\angle DCE = \angle DCA = \angle DBA\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(DA\)).

\( \Rightarrow \angle DNE = \angle DBA\). Mà 2 góc này năm ở vị trí 2 góc đồng vị nên \(EN//AB\) hay \(EN//AH\).

Lại có: \(E\) là trung điểm của \(AC\) (do \(OM\) là trung trực của \(AC\), \(OM \cap AC = \left\{ E \right\}\)).

\( \Rightarrow N\) là trung điểm của \(CH\) (định lí đường trung bình trong tam giác \(ACH\)).

Vậy \(MB\) đi qua \(N\) là trung điểm của \(CH\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link