Cho \(a > 0,b > 0\) thoả mãn \({\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8ab +

Câu hỏi số 534817:

Vận dụng cao

Cho \(a > 0,b > 0\) thoả mãn \({\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) = 2\). Giá trị của \(a + 2b\) bằng

A. \(6\).

B. \(\dfrac{{27}}{4}\).

C. \(\dfrac{{20}}{3}\).

D. \(9\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:534817

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: Với \(a,b\) là hai số không âm thì \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\).

Giải chi tiết

Ta có \(a > 0,b > 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 5b + 1 > 1\\8ab + 1 > 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) > 0\\{\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) > 0\end{array} \right.\)

\(P = {\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) \ge 2\sqrt {{{\log }_{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right).{{\log }_{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right)} \)

\( \Leftrightarrow P \ge 2\sqrt {{{\log }_{8ab + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right)} \)

Mặt khác \(16{a^2} + {b^2} + 1 \ge 2\sqrt {16{a^2}{b^2}} + 1 = 8ab + 1 \Leftrightarrow P \ge 2\sqrt {{{\log }_{8ab + 1}}\left( {8ab + 1} \right)} = 2\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}16{a^2} = {b^2}\\8ab + 1 = 4a + 5b + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a = b\\2{b^2} + 1 = 6b + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{3}{4}\\b = 3\end{array} \right.\)

Do đó \(a + 2b = \dfrac{{27}}{4}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.