Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, khoảng cách từ tâm I của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng . Tính thể tích của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.

Câu hỏi số 5351:

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, khoảng cách từ tâm I của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng $\frac{a}{6}$ . Tính thể tích của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.

A. V_{ABCA’B’C’} = $\frac{3\sqrt{2}a^{3}}{11}$ (đvtt)

B. V_{ABCA’B’C’} = $\frac{3\sqrt{2}a^{3}}{13}$ (đvtt)

C. V_{ABCA’B’C’} = $\frac{3\sqrt{2}a^{3}}{16}$ (đvtt)

D. V_{ABCA’B’C’} = $\frac{3\sqrt{2}a^{3}}{14}$ (đvtt)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5351

Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ : A( $\frac{a}{2}$ ; 0 ; 0); B (- $\frac{a}{2}$ ; 0 ; 0);

C( 0 ; $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ ;0). Đặt BB’ = m; A’( $\frac{a}{2}$ ; 0 ; m); B’(- $\frac{a}{2}$ ; 0; m);

C’(0 ; $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ ; m).

Gọi I là tâm ∆ABC =>I(0; $\frac{a\sqrt{3}}{6}$ ;0); $\overrightarrow{A'B}$ = (-a;0;-m); $\overrightarrow{A'C}$ = (- $\frac{a}{2}$ ; $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ ;- m) => [ $\overrightarrow{A'B}$ ; $\overrightarrow{A'C}$ ] = ( $\frac{am\sqrt{3}}{2}$ ;- $\frac{am}{2}$ ; - $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$ )

Chọn vectơ pháp tuyến của (A’BC) : $\vec{n}$ = (m√3; - m; -a√3).

Phương trình mặt phẳng (A’BC) : m√3(x + $\frac{a}{2}$ ) – my - a√3z = 0.

Theo giả thiết : d(I, (A’BC)) = $\frac{|\frac{am\sqrt{3}}{2}-\frac{am\sqrt{3}}{6}|}{\sqrt{4m^{2}+3a^{2}}}$ = $\frac{a}{6}$

⇔ $\frac{|2am\sqrt{3}|}{\sqrt{4m^{2}+3a^{2}}}$ = a ⇔ 2√3|m| = $\sqrt{4m^{2}+3a^{2}}$ ⇔ 12m² = 4m²+ 3a² => m = $\frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{8}}$

Vậy V_{ABCA’B’C’} = $\frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{8}}$ . $\frac{1}{2}$ . $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .a = $\frac{3a^{3}}{8\sqrt{2}}$ = $\frac{3\sqrt{2}a^{3}}{16}$ (đvtt)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.