Hình nón được gọi là nội tiếp một mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón
Hình nón được gọi là nội tiếp một mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm trên mặt cầu đó. Nếu mặt cầu có bán kính là \(R\) và thể tích của khối nón nội tiếp có thể tích lớn nhất thì chiều cao \(h\) của khối nón là
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Gọi chiều cao hình nón là \(x\)\(\left( {0 < x < 2R} \right)\) và gọi bán kính đáy của hình nón là \(r\). Khi đó \({r^2} = x\left( {2R - x} \right)\)
- Công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h:\;\;\;V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h.\)
- Khảo sát hàm số của \(V\)trên \(\left( {0;2R} \right)\) để tìm \(\max {\rm{ }}V\)
Gọi chiều cao hình nón là \(x\)\(\left( {0 < x < 2R} \right)\) và gọi bán kính đáy của hình nón là \(r\).
Áp dụng định lí Pytago ta có: \({r^2} = {R^2} - {\left( {x - R} \right)^2} = 2Rx - {x^2} = x\left( {2R - x} \right)\).
Thể tích hình nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi x\left( {2R - x} \right).x = \dfrac{1}{3}\pi {x^2}\left( {2R - x} \right)\)
Cách 1: Đặt \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\pi {x^2}\left( {2R - x} \right) = \dfrac{2}{3}\pi R{x^2} - \dfrac{1}{3}\pi {x^3}\).
Yêu cầu đề bài \( \Leftrightarrow \) tìm \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;2R} \right)} {\rm{ }}f\left( x \right)\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{4}{3}\pi Rx - \pi {x^2} = \pi x\left( {\dfrac{{4R}}{3} - x} \right)\), \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left( {0;2R} \right)\\x = \dfrac{{4R}}{3} \in \left( {0;2R} \right)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT ta thấy: \(\max V = \dfrac{{32\pi {R^3}}}{{27}}\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{{4R}}{3}\).
Cách 2: Mặt khác: \(\dfrac{x}{2}.\dfrac{x}{2}.\left( {2R - x} \right) \le {\left( {\dfrac{{\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} + 2R - x}}{3}} \right)^3} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{4}\left( {2R - x} \right) \le \dfrac{{8{R^3}}}{{27}}\) (BĐT Cô-si)
\( \Rightarrow V = \dfrac{1}{3}\pi {x^2}\left( {2R - x} \right) \le \dfrac{{32\pi {R^3}}}{{81}}\).
Vậy \(\max {\rm{ }}V = \dfrac{{32\pi {R^3}}}{{81}}\). Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{x}{2} = 2R - x \Leftrightarrow x = \dfrac{{4R}}{3}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
