Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\dfrac{{x +

Câu hỏi số 535132:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\dfrac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 3} \right) + y\left( {y - 3} \right) + xy\)?

A. \(3\).

B. \(2\).

C. \(4\).

D. \(8\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:535132

Phương pháp giải

Áp dụng công thức:\(\;{\log _a}\dfrac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\)

Thực hiện các phép biến đổi đưa phương trình về dạng: \(f\left( {g\left( x \right)} \right) = f\left( {h\left( x \right)} \right) \Leftrightarrow g\left( x \right) = h\left( x \right)\)

Giải chi tiết

Ta có: \({\log _{\sqrt 3 }}\dfrac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 3} \right) + y\left( {y - 3} \right) + xy\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + y} \right) - {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) = {x^2} - 3x + {y^2} - 3y + xy\\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + y} \right) + 3x + 3y = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + {x^2} + {y^2} + xy\\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + y} \right) + 2 + 3\left( {x + y} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + {x^2} + {y^2} + xy + 2\\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + y} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}3 + 3\left( {x + y} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + \left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left[ {3\left( {x + y} \right)} \right] + 3\left( {x + y} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + \left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)\,\,\,(1)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _{\sqrt 3 }}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) có\(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln \sqrt 3 }} + 1 > 0,\forall t > 0\).

Khi đó (1) tương đương: \(f\left( {3\left( {x + y} \right)} \right) = f\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3\left( {x + y} \right) = {x^2} + {y^2} + xy + 2\) (vì hàm số \(f\left( x \right)\) luôn đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\))

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 3x - 3y + xy + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} + {{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}} \right] = 7\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 14\,\,\,(1)\end{array}\)

Vì \(x,y \in {\bf{N}}* \Rightarrow \left( {x + y} \right),\left( {x - 3} \right),\left( {y - 3} \right) \in {\bf{Z}}\)

Ta có: \(14 = 1 + 9 + 4\) (tổng của 3 số chính phương)

Suy ra \(\left( {x + y} \right);\left( {x - 3} \right);\left( {y - 3} \right)\)có thể nhận được các giá trị \(\left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 3} \right\}\)

Mà \(x + y \ge 2\,\,\left( {do\,\,x,y \in {{\bf{N}}^*}} \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y = 2\\x + y = 3\end{array} \right.\)

TH1: \(x + y = 2 \Leftrightarrow x = y = 1\)

Thay vào PT (1) suy ra: \(12 = 14\)(vô lý)

TH2: \(x + y = 3\)

+ \(x = 1;y = 2\) thay vào PT (1) (thoả mãn)

+ \(x = 2;y = 1\) thay vào PT (1) (thoả mãn)

Vậy có 2 cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.