Cho khối tứ diện \(ABCD\) có thể tích bằng \(27\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.\) Điểm \(M\) di động trên
Cho khối tứ diện \(ABCD\) có thể tích bằng \(27\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.\) Điểm \(M\) di động trên đoạn thẳng \(BC\)\((M\)khác \(B,\,\,C),\) điểm \(S\) di động trên đường thẳng \(CD.\) Một mặt phẳng đi qua \(M,\) song song với hai đường thẳng \(AB,\)\(CD,\) đồng thời cắt \(AC,AD,BD\) lần lượt tại \(N,P,Q.\) Gọi \(V\) là thể tích khối chóp \(S.MNPQ.\) Khi \(M,\)\(N\) thay đổi thì giá trị lớn nhất của \(V\) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Giả sử \(ABCD\) là tứ diện đều.
Đặt \(BM = x \Rightarrow CM = a - x\).
Chứng minh được \(MNPQ\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow {S_{MNPQ}} = x\left( {a - x} \right)\).
Dựng \(SI \bot HK \Rightarrow SI \bot \left( {MNPQ} \right)\).
Khi đó thể tích khối chóp \(S.MNPQ\) là \(V = \dfrac{1}{3}.SI.MNPQ\)
Không mất tính tổng quát ta giả sử \(ABCD\) là tứ diện đều.
Ta có cạnh của tứ diện là \(a\) thì \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = 27 \Leftrightarrow {a^3} = 162\sqrt 2 \).
Đặt \(BM = x \Rightarrow CM = a - x\).
Ta có: \(\dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{CM}}{{BC}} \Rightarrow MN = CM = a - x\).
\(\dfrac{{MQ}}{{CD}} = \dfrac{{BM}}{{BC}} \Rightarrow MQ = BM = x\).
Dễ dàng chứng minh được \(MNPQ\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow {S_{MNPQ}} = x\left( {a - x} \right)\).
Dựng \(SH \bot MQ,\,\,HK//PQ \Rightarrow HK \bot MQ\)
\( \Rightarrow MQ \bot \left( {SHK} \right)\).
Dựng \(SI \bot HK \Rightarrow SI \bot \left( {MNPQ} \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}SH = d\left( {S;MQ} \right) = d\left( {D;MQ} \right)\\\dfrac{{d\left( {D;MQ} \right)}}{{d\left( {B;MQ} \right)}} = \dfrac{{DQ}}{{BQ}} = \dfrac{{a - x}}{x}\\d\left( {B;MQ} \right) = BQ.\cos {30^0} = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow d\left( {D;MQ} \right) = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{a - x}}{x} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\left( {a - x} \right) = SH\end{array}\)
Chứng minh tương tự ta có \(SK = d\left( {S;NP} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {a - x} \right)\).
\( \Rightarrow \Delta SHK\) cân tại \(S \Rightarrow I\) là trung điểm của \(HK\) và \(SI = \sqrt {S{H^2} - \dfrac{1}{4}H{K^2}} = \sqrt {\dfrac{3}{4}{{\left( {a - x} \right)}^2} - \dfrac{1}{4}{{\left( {a - x} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {a - x} \right)\)
\( \Rightarrow {V_{S.MNPQ}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {a - x} \right).x\left( {a - x} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{6}x{\left( {a - x} \right)^2}\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = x{\left( {a - x} \right)^2} = {x^3} - 2a{x^2} + {a^2}x\) với \(0 < x < a\) ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4ax + {a^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\,\,\left( {ktm} \right)\\x = \dfrac{1}{3}a\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow {V_{S.MNPQ}}\,\,\max = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{1}{3}a{\left( {a - \dfrac{1}{3}a} \right)^2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{27}}{a^3} = 12\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
