Tập hợp nào sau đây chứa tất cả các giá trị của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của

Câu hỏi số 535135:

Vận dụng cao

Tập hợp nào sau đây chứa tất cả các giá trị của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\log _{\dfrac{1}{2}}^2x - {{\log }_{\dfrac{1}{2}}}{x^2} + m} \right|\) trên đoạn \(\left[ {\dfrac{1}{4};2} \right]\) bằng \(5\)?

A. \(\left( { - 5; - 3} \right) \cup \left( {1;3} \right)\).

B. \(\left( { - 6; - 3} \right) \cup \left( {4;7} \right)\).

C. \(\left( {0; + \infty } \right)\).

D. \(\left( { - 9; - 5} \right) \cup \left( {0;3} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:535135

Phương pháp giải

Đặt \(t = {\log _{\dfrac{1}{2}}}x\). Khi đó \(x \in \left[ {\dfrac{1}{4};2} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;2} \right]\)

Tính điểm cực đại cực tiểu của hàm số trên \(\left[ { - 1;2} \right]\), tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được và so sánh với \(f\left( { - 1} \right);f\left( 2 \right)\) để tìm GTLN.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x > 0\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \log _{\dfrac{1}{2}}^2x - {\log _{\dfrac{1}{2}}}{x^2} + m = \log _{\dfrac{1}{2}}^2x - 2{\log _{\dfrac{1}{2}}}x + m\).

Đặt \(t = {\log _{\dfrac{1}{2}}}x\). Với \(x \in \left[ {\dfrac{1}{4};2} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;2} \right]\). Khi đó hàm số đã cho trở thành \(y = f\left( t \right) = {t^2} - 2t + m\).

\( \Rightarrow y' = f'\left( t \right) = 2t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1\).

Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = m + 3;\,\,f\left( 1 \right) = m - 1;\,\,f\left( 2 \right) = m\).

\( \Rightarrow f\left( t \right) \in \left[ {m - 1;m + 3} \right]\)\( \Rightarrow \mathop {\max y}\limits_{\left[ {\dfrac{1}{4};2} \right]} = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} \left| {f\left( t \right)} \right| = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} \left\{ {\left| {m - 1} \right|;\left| {m + 3} \right|} \right\}\)

TH1: \(\mathop {\max y}\limits_{\left[ {\dfrac{1}{4};2} \right]} = \left| {m - 1} \right| \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 1} \right| \ge \left| {m + 3} \right|\\\left| {m - 1} \right| = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 1} \right| \ge \left| {m + 3} \right|\\\left[ \begin{array}{l}m - 1 = 5\\m - 1 = - 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 1} \right| \ge \left| {m + 3} \right|\\\left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = - 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 4\)

TH2: \(\mathop {\max y}\limits_{\left[ {\dfrac{1}{4};2} \right]} = \left| {m + 3} \right| \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m + 3} \right| \ge \left| {m - 1} \right|\\\left| {m + 3} \right| = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m + 3} \right| \ge \left| {m - 1} \right|\\\left[ \begin{array}{l}m + 3 = 5\\m + 3 = - 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m + 3} \right| \ge \left| {m - 1} \right|\\\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 8\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\)

Vậy \(m \in \left\{ { - 4;2} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.