Trên tập hợp số phức, xét phương trình \({z^2} - \sqrt {m + 1} z - \dfrac{1}{4}\left( {{m^2} - 5m - 6}

Câu hỏi số 535263:

Vận dụng

Trên tập hợp số phức, xét phương trình \({z^2} - \sqrt {m + 1} z - \dfrac{1}{4}\left( {{m^2} - 5m - 6} \right) = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu số nguyên \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để phương trình trên có hai nghiệm phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\)?

A. 11

B. 10

C. 6

D. 9

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:535263

Giải chi tiết

ĐK: \(m \ge - 1\).

Xét phương trình \({z^2} - \sqrt {m + 1} z - \dfrac{1}{4}\left( {{m^2} - 5m - 6} \right) = 0\) có \(\Delta = m + 1 + {m^2} - 5m - 6 = {m^2} - 4m - 5\).

Để phương trình có 2 nghiệm phức thì \(\Delta < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 5 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 5\).

Khi đó, phương trình có 2 nghiệm phức \({z_1} = \dfrac{{\sqrt {m + 1} + i\sqrt { - \left( {{m^2} - 4m - 5} \right)} }}{2}\), \({z_1} = \dfrac{{\sqrt {m + 1} - i\sqrt { - \left( {{m^2} - 4m - 5} \right)} }}{2}\).

Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phức thì hai nghiệm phức đó là liên hợp của nhau.

Đặt \({z_1} = a + bi \Rightarrow {z_2} = a - bi\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {a + bi + a - bi} \right| \le \left| {a + bi - a + bi} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {2a} \right| \le \left| {2bi} \right|\\ \Leftrightarrow \left| a \right| \le \left| b \right|\end{array}\)

Với \(a = \sqrt {m + 1} ,\,\,b = \sqrt { - \left( {{m^2} - 4m - 5} \right)} \) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left| a \right| \le \left| b \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {m + 1} \le \sqrt { - \left( {{m^2} - 4m - 5} \right)} \\ \Leftrightarrow m + 1 \le - \left( {{m^2} - 4m - 5} \right)\\ \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 4 \le 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le m \le 4\end{array}\)

Kết hợp các điều kiện ta có \(m \in \left[ { - 1;4} \right]\), thỏa mãn \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\).

Vậy có 6 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.