Tìm a để hệ sau có nghiệm :

Câu hỏi số 5361:

Tìm a để hệ sau có nghiệm : $\left\{\begin{matrix}x^{2}-3x-4\leq 0\\x^{3}-3x|x|\geq a^{2}+15a\end{matrix}\right.$ $\begin{matrix}(1)\\(2)\end{matrix}$

A. a ∈ [-13;1]

B. a ∈ [-14;1]

C. a ∈ [-15;1]

D. a ∈ [-16;1]

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5361

Giải chi tiết

(1)=> -1 ≤ x ≤ 4

Hệ đã cho vô nghiệm =>f(x) = x³ – 3x|x| - a² – 15a < 0 ∀x∈[-1;4].

f(x) = $\left\{\begin{matrix}x^{3}-3x^{2}-a^{2}-15a,\forall x\in [0;4]\\x^{3}+3x^{2}-a^{2}-15a,\forall x\in [-1;0]\end{matrix}\right.$

=>f’(x) = $\left\{\begin{matrix}3x^{2}-6x,\forall x\in (0;4)\\3x^{2}+6x,\forall x\in (-1;0)\end{matrix}\right.$

Ta có bảng biến thiên:

f(-1) = -a² – 15a + 2; f(4) = -a² -15a + 16

Suy ra $\max_{[-1;4]}$ f(x) = f(4) = -a² -15a + 16

Vậy f(x) < 0 ∀x∈ [-1;4] tương đương với $\max_{[-1;4]}$ f(x) < 0

Hay : -a² – 15a + 16 < 0 ⇔ a² + 15a -16 > 0 ⇔ a < -16; a > 1.

Do đó suy ra để hệ có nghiệm thì -16 ≤ a ≤ 1.

Đáp số : a ∈ [-16;1]

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.