Cho hình thang \(ABCD\) có \(\angle A = \angle D = {90^0}\), \(AD = 4AB\), \(CD = 3AB\). Gọi \(M\) là trung
Cho hình thang \(ABCD\) có \(\angle A = \angle D = {90^0}\), \(AD = 4AB\), \(CD = 3AB\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD\), \(E\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên \(BC\). Tia \(BM\) cắt đường thẳng \(CD\) tại \(F\).
a) Chứng minhg rằng \(\angle MAE = \angle MBE\).
b) Chứng minh rằng \(ABDF\) là hình bình hành.
c) Đường thẳng qua \(M\) vuông góc với \(BF\) cắt cạnh \(BC\) tại \(N\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(N\) lên \(CD\). Chứng minh rằng tam giác \(BNF\) cân.
d) Chứng minh rằng đường thẳng \(MH\) đi qua trung điểm của \(DE\).
Quảng cáo
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp, chứng minh \(ABEM\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \angle MAE = \angle MBE\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(ME\)).
b) Ta sẽ chứng minh: \(AB//DF\) và \(AB = DF\)\( \Rightarrow ABDF\) là hình bình hành (dhnb)
c) Ta sẽ chứng minh: \(\Delta BNF\) có: \(NM\) là đường trung tuyến cũng là đường cao nên \(\Delta BNF\) cân tại \(N\).
d) Gọi \(MH \cap DE = \left\{ K \right\}\).
Ta sẽ chứng minh: \(\angle HFN = \angle HMN\) và \(\angle NFM = \angle NME\), suy ra \(\angle HFM = \angle HME\)
Dựa vào hai góc so le trong và góc nội tiếp của đường tròn, suy ra \(\angle HME = \angle AEM\)
Chứng minh được \(MK//AE\)
Áp dụng đường trung bình trong tam giác \(ADE\).
a) Xét tứ giác \(ABEM\) có \(\angle MAB = \angle MEB = {90^0}\).
\( \Rightarrow \angle MAB + \angle MEB = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
\( \Rightarrow ABEM\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
\( \Rightarrow \angle MAE = \angle MBE\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(ME\)).
b) Vì \(ABCD\) là hình thang nên \(AB//CD \Rightarrow AB//DF\) (1)
Áp dụng hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{AB}}{{DF}} = \dfrac{{AM}}{{MD}}\).
Mà \(AM = MD\) (do \(M\) là trung điểm của \(AD\)) \( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{DF}} = 1 \Rightarrow AB = DF\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow ABDF\) là hình bình hành (dhnb).
c) Vì \(ABDF\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(AD\) và \(BF\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Mà \(AD \cap BF = \left\{ M \right\}\) \( \Rightarrow M\) là trung điểm của \(BF\).
\( \Rightarrow NM\) là đường trung tuyến của \(\Delta BNF\).
Lại có \(MN \bot BF\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(NM\) là đường cao của \(\Delta BNF\).
Vậy \(\Delta BNF\) cân tại \(N\) (tam giác có trung tuyến đồng thời là đường cao).d) Gọi \(MH \cap DE = \left\{ K \right\}\).
Ta sẽ chứng minh: \(\angle HFN = \angle HMN\) và \(\angle NFM = \angle NME\), suy ra \(\angle HFM = \angle HME\)
Dựa vào hai góc so le trong và góc nội tiếp của đường tròn, suy ra \(\angle HME = \angle AEM\)
Chứng minh được \(MK//AE\)
Áp dụng đường trung bình trong tam giác \(ADE\).
d) Gọi \(MH \cap DE = \left\{ K \right\}\).
Xét tứ giác \(MNHF\) có \(\angle NMF + \angle NHF = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
\( \Rightarrow MNHF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle HFN = \angle HMN\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(HN\)). (3)
Vì \(\Delta BNF\) cân tại \(N\,\,\left( {cmt} \right)\) \( \Rightarrow \angle NFM = \angle NBM\) (tính chất tam giác cân).
Mà \(\angle NBM = \angle NME\) (cùng phụ với \(\angle BME\))
\( \Rightarrow \angle NFM = \angle NME\) (4)
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \angle HFN + \angle NFM = \angle HMN + \angle NME\) \( \Rightarrow \angle HFM = \angle HME\).
Mà \(\angle HFM = \angle ABM\) (so le trong), \(\angle ABM = \angle AEM\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AM\) của tứ giác nội tiếp \(ABEM\)).
\( \Rightarrow \angle HFM = \angle AEM\).
\( \Rightarrow \angle HME = \angle AEM\).
Mà 2 góc này nằm ở vị trí 2 góc so le trong bằng nhau nên \(AE//MN\) hay \(MK//AE\).
Xét tam giác \(ADE\) có: \(M\) là trung điểm của \(AB\,\,\left( {gt} \right)\), \(MK//AE\,\,\left( {cmt} \right)\).
\( \Rightarrow K\) là trung điểm của \(DE\) (định lí đường trung bình của tam giác).
Vậy đường thẳng \(MH\) đi qua trung điểm của \(DE\) (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
