Đặt một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi vào hai đầu một

Câu hỏi số 536496:

Vận dụng cao

Đặt một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi vào hai đầu một đoạn mạch như hình vẽ. Khi K đóng, điều chỉnh giá trị biến trở đến giá trị \({R_1}\) hoặc \({R_2}\) thì công suất tỏa nhiệt trên mạch đều bằng P. Độ lệch pha giữa điện áp tức thời hai đầu mạch và dòng điện trong mạch khi \(R = {R_1}\) là \({\varphi _1}\), khi \(R = {R_2}\) là \({\varphi _2}\), trong đó \(\left| {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right| = \dfrac{\pi }{6}\). Khi K mở, điều chỉnh giá trị R từ 0 đến rất lớn thì công suất tỏa nhiệt trên biến trở R cực đại bằng \(\dfrac{{2P}}{3}\), công suất trên cả mạch cực đại bằng \(\dfrac{{2P}}{{\sqrt 3 }}\). Hệ số công suất của cuộn dây là:

A. \(\dfrac{1}{2}\).

B. \(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}\).

C. \(\dfrac{1}{{\sqrt {13} }}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:536496

Phương pháp giải

Công suất tiêu thụ trên biến trở: \(P = \dfrac{{{U^2}R}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}\).

Độ lệch pha giữa điện áp và cường độ dòng điện: \(\tan \varphi = \dfrac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R}\).

Sử dụng phương pháp chuẩn hóa số liệu.

Công suất tiêu thụ trong mạch: \(P = \dfrac{{{U^2}\left( {R + r} \right)}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}\).

Bất đẳng thức Cauchy: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) (dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\))

Giải chi tiết

+ Khi K đóng, mạch gồm biến trở và tụ điện:

Biến trở chỉ giá trị \({R_1}\) và \({R_2}\) thì công suất trên mạch đều bằng nhau:

\(\begin{array}{l}{P_1} = {P_2} \Rightarrow \dfrac{{{U^2}{R_1}}}{{{R_1}^2 + {Z_C}^2}} = \dfrac{{{U^2}{R_2}}}{{{R_2}^2 + {Z_C}^2}}\\ \Rightarrow {R_1}{R_2}^2 + {R_1}{Z_C}^2 = {R_2}{R_1}^2 + {R_2}{Z_C}^2\\ \Rightarrow {R_1}{R_2}\left( {{R_2} - {R_1}} \right) = {Z_C}^2\left( {{R_2} - {R_1}} \right)\\ \Rightarrow {Z_C}^2 = {R_1}{R_2}\end{array}\)

Giả sử \({\varphi _1} > {\varphi _2} \Rightarrow \tan {\varphi _1} > \tan {\varphi _2} \Rightarrow \dfrac{{ - {Z_C}}}{{{R_1}}} > \dfrac{{ - {Z_C}}}{{{R_2}}} \Rightarrow {R_1} < {R_2}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\varphi _1} - {\varphi _2} = \dfrac{\pi }{6} \Rightarrow \tan \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{{\dfrac{{ - {Z_C}}}{{{R_1}}} - \dfrac{{ - {Z_C}}}{{{R_2}}}}}{{1 + \dfrac{{ - {Z_C}}}{{{R_1}}}.\dfrac{{ - {Z_C}}}{{{R_2}}}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{ - {Z_C}\left( {{R_2} - {R_1}} \right)}}{{{R_1}{R_2} + {Z_C}^2}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \dfrac{{ - {Z_C}\left( {{R_2} - {R_1}} \right)}}{{2{Z_C}^2}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\\ \Rightarrow \sqrt 3 \left( {{R_1} - {R_2}} \right) = 2{Z_C} = 2\sqrt {{R_1}{R_2}} \\ \Rightarrow 3{\left( {{R_1} - {R_2}} \right)^2} = 4{R_1}{R_2} \Rightarrow 3{R_1}^2 - 10{R_1}{R_2} + 3{R_2}^2 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{R_1} = 3{R_2}\,\,\left( {loai} \right)\\{R_1} = \dfrac{{{R_2}}}{3}\,\,\left( {t/m} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Chuẩn hóa \({R_1} = 1 \Rightarrow {R_2} = 3 \Rightarrow {Z_C} = \sqrt 3 \)

Công suất: \({P_1} = \dfrac{{{U^2}{R_1}}}{{{R_1}^2 + {Z_C}^2}} \Rightarrow \dfrac{{{U^2}.1}}{{{1^2} + 3}} = P \Rightarrow {U^2} = 4P\)

+ Khi K mở, mạch điện gồm biến trở, tụ điện, cuộn dây:

Công suất trên mạch đạt giá trị cực đại là:

\(\begin{array}{l}{P_{\max }} = \dfrac{{{U^2}}}{{2\left| {{Z_L} - {Z_C}} \right|}} \Rightarrow \dfrac{{4P}}{{2\left| {{Z_L} - \sqrt 3 } \right|}} = \dfrac{{2P}}{{\sqrt 3 }}\\ \Rightarrow \left| {{Z_L} - \sqrt 3 } \right| = \sqrt 3 \Rightarrow {Z_L} - \sqrt 3 = \pm \sqrt 3 \\ \Rightarrow {Z_L} - \sqrt 3 = \sqrt 3 \Rightarrow {Z_L} = 2\sqrt 3 \end{array}\)

Công suất tiêu thụ trên biến trở là:

\({P_R} = \dfrac{{{U^2}R}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}} = \dfrac{{{U^2}}}{{R + \dfrac{{{r^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R} + 2r}}\)

Công suất \({P_{R\max }} \Leftrightarrow \left[ {R + \dfrac{{{r^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R}} \right]\min \)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(\begin{array}{l}R + \dfrac{{{r^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R} \ge 2\sqrt {R.\dfrac{{{r^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R}} \\ \Rightarrow \left[ {R + \dfrac{{{r^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R}} \right]\min = 2\sqrt {{r^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} \end{array}\)

Khi: \({R^2} = {r^2} + {\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)^2} = {r^2} + 3\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {P_{R\max }} = \dfrac{{{U^2}}}{{2r + 2\sqrt {{r^2} + 3} }}\\ \Rightarrow \dfrac{{2P}}{3} = \dfrac{{4P}}{{2r + 2\sqrt {{r^2} + 3} }}\\ \Rightarrow r + \sqrt {{r^2} + 3} = 3\\ \Rightarrow \sqrt {{r^2} + 3} = 3 - r\\ \Rightarrow {r^2} + 3 = {\left( {3 - r} \right)^2} = 9 + {r^2} - 6r\\ \Rightarrow 6r = 6 \Rightarrow r = 1\end{array}\)

Hệ số công suất của cuộn dây là:

\(\cos {\varphi _d} = \dfrac{r}{{\sqrt {{r^2} + {Z_L}^2} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \dfrac{1}{2}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.