Gọi \(S\) là tập các số nguyên \(m \in \left[ { - 2022;2022} \right]\) để phương trình \(\log _2^2x -

Câu hỏi số 538283:

Vận dụng cao

Gọi \(S\) là tập các số nguyên \(m \in \left[ { - 2022;2022} \right]\) để phương trình \(\log _2^2x - {\log _{\sqrt 2 }}x = m - \sqrt {m + {{\log }_2}x} \) có đúng ba nghiệm phân biệt. Số phần tử của \(S\) bằng

A. 1

B. 2

C. 2021

D. 2022

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ

- Biện luận phương trình

Giải chi tiết

Đặt \(\sqrt {m + {{\log }_2}x} = t \ge 0\) \( \Rightarrow m = {t^2} - {\log _2}x\).

Phương trình đã cho trở thành

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\log _2^2x - {\log _{\sqrt 2 }}x = {t^2} - t - {\log _2}x\\ \Leftrightarrow \log _2^2x - 2{\log _2}x = {t^2} - t - {\log _2}x\\ \Leftrightarrow \log _2^2x - {\log _2}x = {t^2} - t\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = t\\{\log _2}x = 1 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = \sqrt {m + {{\log }_2}x} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{\log _2}x = 1 - \sqrt {m + {{\log }_2}x} \,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Giải (1): \({\log _2}x = \sqrt {m + {{\log }_2}x} \)

Đặt \({\log _2}x = a\)

Khi đó: \(a = \sqrt {m + a} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\{a^2} - a = m\end{array} \right.\)

Giải (2): \({\log _2}x = 1 - \sqrt {m + {{\log }_2}x} \)

Đặt \({\log _2}x = b\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}b = 1 - \sqrt {m + b} \Leftrightarrow \sqrt {m + b} = 1 - b\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - b \ge 0\\{b^2} - 2b + 1 = m + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b \le 1\\{b^2} - 3b + 1 = m\end{array} \right.\end{array}\)

Biểu diễn trên hệ trục tọa độ:

Xét phương trình \({x^2} - x = {x^2} - 3x + 1\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\)

Hai đồ thị của hai hàm số giao nhau tại \(\left( {\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\)

Dựa vào đồ thị ta thấy để phương trình \(\log _2^2x - {\log _{\sqrt 2 }}x = m - \sqrt {m + {{\log }_2}x} \) có đúng ba nghiệm phân biệt thì \(m \in \left[ { - \dfrac{1}{2};0} \right]\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 0\).

Vậy số phần tử của \(S\) bằng 1

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:538283

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.