Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x + 4\,\,khi\,\,x \ge 1\\2x + 3\,\,\,khi\,\,x <

Câu hỏi số 539126:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x + 4\,\,khi\,\,x \ge 1\\2x + 3\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\). Giả sử \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng \(F\left( 0 \right) = \dfrac{1}{4}\). Khi đó giá trị \(F\left( { - 2} \right) + 3F\left( 4 \right)\) bằng

A. \(45\)

B. \(62\)

C. \(63\)

D. \(61\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:539126

Phương pháp giải

- Tính \(F\left( x \right)\) với từng khoảng của \(x\).

- Sử dụng Vì hàm số \(F\left( x \right)\) có đạo hàm \(\forall x \in \mathbb{R}\) nên \(F\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R} \Rightarrow F\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right)\) để tìm các hằng số \(C\).

- Tính \(F\left( { - 2} \right),\,\,F\left( 4 \right)\) với tìm hàm \(F\left( x \right)\) xác định.

Giải chi tiết

Với \(x \ge 1\) ta có \({F_1}\left( x \right) = \int {\left( {\sqrt x + 4} \right)dx} = \dfrac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + 4x + {C_1}\).

Với \(x < 1\) ta có \({F_2}\left( x \right) = \int {\left( {2x + 3} \right)dx} = {x^2} + 3x + {C_2}\).

Vì \(F\left( 0 \right) = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {C_2} = \dfrac{1}{4}\), khi đó \({F_2}\left( x \right) = {x^2} + 3x + \dfrac{1}{4}\).

Vì hàm số \(F\left( x \right)\) có đạo hàm \(\forall x \in \mathbb{R}\) nên \(F\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R} \Rightarrow F\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) \Rightarrow {F_1}\left( 1 \right) = {F_2}\left( 1 \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{2}{3} + 4 + {C_1} = \dfrac{{17}}{4} \Leftrightarrow {C_1} = - \dfrac{5}{{12}}\).

\( \Rightarrow F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + 4x - \dfrac{5}{{12}}\,\,khi\,\,x \ge 1\\{x^2} + 3x + \dfrac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\left( { - 2} \right) = - \dfrac{7}{4}\\F\left( 4 \right) = \dfrac{{251}}{{12}}\end{array} \right.\).

Vậy \(F\left( { - 2} \right) + 3F\left( 4 \right) = - \dfrac{7}{4} + 3.\dfrac{{251}}{{12}} = 61\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.