Cho hình trụ \(\left( T \right)\) có bán kính đáy bằng \(a\). Một hình vuông \(ABCD\) có hai cạnh

Câu hỏi số 539125:

Vận dụng

Cho hình trụ \(\left( T \right)\) có bán kính đáy bằng \(a\). Một hình vuông \(ABCD\) có hai cạnh \(AB,\,\,CD\) lần lượt là hai dây cung của hai đường tròn đáy. Hai cạnh \(AD,\,\,BC\) không phải là đường sinh của hình trụ \(\left( T \right)\). Biết mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) tạo với mặt đáy góc bằng \({30^0}\). Tính độ dài cạnh hình vuông.

A. \(4a\)

B. \(\dfrac{{4a\sqrt 7 }}{7}\)

C. \(a\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 7 }}{7}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:539125

Phương pháp giải

- Đặt \(AB = MN = x\), sử dụng định lí Pytago tính \(O'N\) theo \(x\).

- Xác định \(\angle \left( {\left( {ABCD} \right);\left( {day} \right)} \right)\), sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, lập phương trình biểu diễn \(x\) theo \(a\).

Giải chi tiết

Gọi \(O,\,\,O'\) là tâm hai đường tròn đáy của hình trụ. Gọi \(I,\,\,M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(OO',\,\,AB,\,\,CD\).

Dễ thấy \(MN\) đi qua trung điểm \(I\) của \(OO'\).

Đặt \(AB = MN = x \Rightarrow NI = \dfrac{{MN}}{2} = \dfrac{x}{2}\), \(CN = \dfrac{{CD}}{2} = \dfrac{x}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago ta có \(O'N = \sqrt {O'{C^2} - N{C^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \).

Ta có \(\angle \left( {\left( {ABCD} \right);\left( {day} \right)} \right) = \angle O'NI = {30^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow O'N = NI.\cos {30^0} \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{x^2}}}{4}} = \dfrac{x}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow {a^2} - \dfrac{{{x^2}}}{4} = \dfrac{{3{x^2}}}{{16}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{7{x^2}}}{{16}} = {a^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{4a\sqrt 7 }}{7}\end{array}\)

Vậy cạnh hình vuông bằng \(\dfrac{{4a\sqrt 7 }}{7}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.