Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\) và \(\angle SBA =

Câu hỏi số 539128:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\) và \(\angle SBA = {30^0}\). Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng \(\left( {SM,BD} \right)\).

A. \(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt {26} }}{{13}}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:539128

Phương pháp giải

- Gọi \(K\) là trung điểm của \(AD\) ta có \(MK//BD\) \( \Rightarrow \angle \left( {SM;BD} \right) = \angle \left( {SM;MK} \right)\).

- Tính độ dài các cạnh của tam giác \(SMK\) và sử dụng định lí Cosin trong tam giác.

Giải chi tiết

Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(SH \bot AB\) ta có \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(K\) là trung điểm của \(AD\) ta có \(MK//BD\) \( \Rightarrow \angle \left( {SM;BD} \right) = \angle \left( {SM;MK} \right)\).

Đặt \(AB = a\,\,\left( {a > 0} \right)\).

Vì \(\Delta SAB\) vuông tại \(S\) nên \(SM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}\).

Lại có \(SA = AB.\sin {30^0} = \dfrac{a}{2} \Rightarrow SA = SM \Rightarrow \Delta SAM\) cân tại \(S\).

\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(AM\) \( \Rightarrow HB = \dfrac{3}{4}AB = \dfrac{{3a}}{4}\).

Xét tam giác vuông \(SHB\) có \(SH = HB.\tan {30^0} = \dfrac{{3a}}{4}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(AHK\) ta có: \(HK = \sqrt {A{H^2} + A{K^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{4}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SHK\) ta có: \(SK = \sqrt {S{H^2} + H{K^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 5 }}{4}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có \(MK\) là đường trung bình của \(\Delta ABD\) nên \(MK = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(SMK\) có:

\(\cos \angle SMK = \dfrac{{S{M^2} + M{K^2} - S{K^2}}}{{2SM.MK}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4} > 0\).

Vậy \(\cos \angle \left( {SM;BD} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.